數學女孩：哥德爾不完備定理

　　最受日本高校生喜愛的青春物語系列最新作!!

　　「數學是不完全的嗎？」
　　不斷地輪轉，不斷地更迭，這個季節。
　　看起來雖然很像，但卻不是單純的迴圈。
　　而是一邊重複一邊往上延伸的──螺旋……
　　我和三個少女，逼近「不完全性定理」的真實，
　　如果是蒂蒂的話，就不會是由梨……
　　魅惑而動人的數學物語。

　　在數學當中，雖然單純卻不明顯的定理或關係，
　　其數量確實多到叫人吃驚。
　　……試想，在某種意義上，數學的這個性質不正好反映了
　　──世界的秩序與規則性。
　　這個世界看起來比只作表面觀察的時候，
　　還來得更偉大，而這種偉大可說是無法比擬的。~哥德爾~

　　隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起數學的種種。

　　在紙上記列著數學符號，試圖描繪出宇宙。
　　在紙上書寫下數學公式，試圖引導出真理。

　　隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起那些女孩們。
　　彼此切磋那些名為數學的詞彙，
　　在名為青春的時光裡，與我所邂逅的豆蔻年華的少女們──
　　我和三位青春少女的動人物語。
　　我之所以得以展翅飛翔，全源於一個渺小的契機……

　　~謹此獻給哥德爾，以及世界上所有的數學家們~

　　「數學是不完全的嗎？」逼近「不完全性定理」的真實，魅惑而動人的數學物語。

　　本書中出現有各式各樣的數學問題，從簡單到小學生都懂得的部分，至困難到會嚴重動搖整個數學界的世紀難題都有。

　　除了使用語言及圖形來表現故事主人翁的思考脈絡之外，另也會使用到數學公式來做表達。

　　每當遇有無法理解數學公式涵義的時候，請不妨先跳過卡住的數學公式，暫且隨著故事的情節發展往下走。蒂蒂和由梨會陪伴著你一起往前走。

　　而對數學有自信的讀者們，在享受故事情節之餘，也不要忘了動動腦挑戰看看書中的數學公式哦！如此一來，你將可以體味到隱藏在故事背後的其他趣味。

　　或許，聰敏的你能超越那些數學天才們，挖掘出的不為人知的祕密噢！

作者簡介

結城浩

　　1963年生。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。著有《數學女孩──費馬最後定理》等書。

審訂者簡介

王銀國

　　台大物理學博士，現任台師大通識教育中心副教授，開授「邏輯思考與應用、科技與人文的對話」等通識課程。曾監製紀錄片《翻滾吧！男孩》。目前籌拍《作弊》、《天魔前傳》、《愛麗絲的婚禮》、《阮老爸是師公》、《天魔Ⅰ,Ⅱ》、《理想國》、《命》等電影。

洪萬生

　　紐約城市大學（CUNY）科學史博士，國立台灣師範大學數學系學士、碩士。國立台灣師範大學數學系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台灣數學教育學會理事長（2007-2009）、國際科學史學院通訊會員、Historia Mathematica（國際數學史雜誌）編輯委員、《HPM通訊》發行人、台灣數學（虛擬）博物館創始人之一。

譯者簡介

鍾霓

　　中國文化大學新聞研究所碩士。曾經是個寫字的人，現為兼職翻譯，下一個身分尚待確認。鍾情於旅行、閱讀、寫字，並耽於在現實與夢想之間搖擺不定。譯有《數學女孩──費馬最後定理》、《熱情》等書。

給讀者　i
序章　ix

第1章　鏡的獨白 1

1.1　誠實的人是誰？　1
　1.1.1　魔鏡啊魔鏡　1
　1.1.2　誠實的人是誰？ 3
　1.1.3　相同的答案　6
　1.1.4　名為沉默的答案　8
1.2　邏輯問題　9
　1.2.1　愛麗斯與伯里斯與克理斯　9
　1.2.2　利用表格來協助思考　10
　1.2.3　出題者的心情　14
1.3　帽子是什麼顏色的？　15
1.3.1　我不知道　15
1.3.2　出題者的確認　18
1.3.3　鏡的獨白　19

第2章　皮亞諾公理　23

2.1　蒂蒂　23
　2.1.1　皮亞諾公理　23
　2.1.2　無窮的請託　27
　2.1.3　皮亞諾公理 PA1　28
　2.1.4　皮亞諾公理 PA2　29
　2.1.5　培育成巨無霸　32
　2.1.6　皮亞諾公理 PA3　34
　2.1.7　微小？　35
2.1.8　皮亞諾公理 PA4　36
2.2　米爾迦　39
　2.2.1　皮亞諾公理PA5　42
　2.2.2　數學歸納法　43
2.3　在無盡的邁步中　49
2.3.1　是有限？是無限？　49
2.3.2　是動態的？是靜態的？　50
2.4　由梨　51
2.4.1　加法運算是？　51
2.4.2　公理是？　53

第3章　伽利略的遲疑　57

3.1　集合　57
3.1.1　美人的集合　57
3.1.2　外延的定義　58
3.1.3　餐桌　60
3.1.4　空集　　60
3.1.5　集合的集合　62
3.1.6　交集　64
3.1.7　聯集　66
3.1.8　子集　67
3.1.9　思考集合的理由　69
3.2　邏輯　70
3.2.1　內涵的定義　70
3.2.2　羅素悖論　72
3.2.3　集合運算與邏輯運算　74
3.3　無限　76
3.3.1　對射的鳥籠　76
3.3.2　伽利略的遲疑　80
3.4　表現　83
3.4.1　歸途　83
3.4.2　書店　84
3.5　沉默　85
3.5.1　美人的集合　85

第4章　無止境地接近的目標地點　87

4.1　自宅　87
　4.1.1　由梨　87
　4.1.2　男孩的「證明」　88
　4.1.3　由梨的「證明」　89
　4.1.4　由梨的「證明」　91
　4.1.5　我的說明　92
4.2　超市　95
　4.2.1　目標地點　95
4.3　音樂教室　99
　4.3.1　文字的導入　99
　4.3.2　極限　101
　4.3.3　音樂是由聲音所決定的　103
　4.3.4　極限的運算　105
4.4　回家的路上　114
　4.4.1　未來出路　114

第5章　萊布尼茲的夢　117

5.1　如果是由梨的話，就不會是蒂蒂　117
　5.1.1　「若…則…」的意義　117
　5.1.2　萊布尼茲之夢　120
　5.1.3　理性的極限？　122
5.2　如果是蒂蒂的話，就不會是由梨　123
5.2.1　升學考試　123
5.2.2　課程　125
5.3　如果是米爾迦的話，就是米爾迦　127
　5.3.1　教室　127
　5.3.2　形式體系　128
　5.3.3　邏輯式　130
　5.3.4　「若…則…」的形式？　132
　5.3.5　公設　135
　5.3.6　證明論　136
　5.3.7　推論規則　138
　5.3.8　證明與定理　140
        5.4　既非我，也是我　142
　5.4.1　自宅　142
　5.4.2　形式的形式　143
　5.4.3　意義的意義　145
　5.4.4　如果是「若…則…」的話？　146
　5.4.5　邀約　151

第6章　Epsilon-Delta極限分析論證法　153

6.1　數列的極限　153
　6.1.1　從圖書室開始　153
　6.1.2　前往階梯教室　154
　6.1.3　理解複雜數式的方法　        158
　6.1.4　解讀「絕對值」　160
　6.1.5　解讀「若…則…」　163
　6.1.6　解讀「全部」與「某些」　165
6.2　函數的極限　168
　6.2.1　 　168
　6.2.2　 的意義　172
6.3　實力測驗　173
　6.3.1　校內排名　173
　6.3.2　寂靜之音、沉默之聲　174
6.4　連續的定義　175
　6.4.1　圖書室　175
　6.4.2　所有的點都不連續　178
　6.4.3　只在一個點處連續的函數？　180
　6.4.4　從無窮的迷宮脫出　181
　6.4.5　只在一個點處連續的函數！　182
　6.4.6　當說的詞語　186

第7章　對角線論證法　191

7.1　數列的數列　191
　7.1.1　可數集　191
　7.1.2　對角線論證法　195
　7.1.3　挑戰：實數的編號排序　203
　7.1.4　挑戰：有理數與對角線論證法　206
7.2　形式體系的形式體系                  　209
　7.2.1　相容性與完備性　209
　7.2.2　哥德爾不完備定理　216
　7.2.3　算術　218
　7.2.4　形式體系的形式體系　219
　7.2.5　詞彙的整理　222
　7.2.6　數項　223
　7.2.7　對角化　224
　7.2.8　數學的定理　227
7.3　追尋之物的追尋之物　227
7.3.1　遊樂園　227

第8章　由兩種孤獨當中所誕生的東西　233

8.1　重疊的序對　233
　8.1.1　蒂蒂所察覺到的東西　233
　8.1.2　我所察覺到的事情　239
　8.1.3　所有人都忽略掉的東西　240
8.2　自宅　241
8.2.1　自己的數學　241
8.2.2　表現的壓縮　241
　8.2.3　加法運算的定義　245
　8.2.4　教師的存在　247
8.3　等價關係　248
8.3.1　畢業典禮　248
8.3.2　由序對所產生出來的東西　250
8.3.3　從自然數到整數　251
8.3.4　圖表　252
　8.3.5　等價關係　257
　8.3.6　商集　260
8.4　餐廳　264
8.4.1　兩個人的晚餐　264
8.4.2　成對的羽翼　265
8.4.3　無力測驗　266

第9章　疑惑的螺旋梯　269

9.1　 π 弧度　            　269
9.1.1　板著臉的由梨　269
9.1.2　三角函數　271
9.1.3　sin45。　274
9.1.4　sin60。　278
9.1.5　正弦曲線　282
9.2　 π弧度　287
9.2.1    弧度　287
9.2.2　教學　289
9.3　 π弧度　290
9.3.1　停課　290
9.3.2　剩餘　291
9.3.3 　燈塔　293
9.3.4　海邊　294
9.3.5 　消毒　297

第10章　哥德爾不完全性定理　299

10.1　雙倉圖書館　299
10.1.1　入口處　299
10.1.2　氯之間　300
10.2　希爾柏特計畫　302
10.2.1　希爾柏特　302
10.2.2　測驗　304
10.3　哥德爾不完全性定理　308
10.3.1　哥德爾　308
10.3.2　討論　309
10.3.3 　證明的綱要　311
10.4 　「春」形式系統P　312
10.4.1　基本符號　312
10.4.2　數項與符號　313
10.4.3　邏輯式　314
10.4.4　公設　315
10.4.5　推論規則　317
10.5　午餐時間　318
10.5.1　元數學　318
10.5.2　用數學做數學　319
10.5.3　甦醒　319
10.6　「夏」哥德爾數　321
10.6.1　基本符號的哥德爾數　 321
10.6.2　數列的哥德爾數　322
10.7　「秋」原始遞歸　324
10.7.1　原始遞歸函數　324
10.7.2　原始遞歸函數（謂語）的性質　326
10.7.3　可表達性定理　328
10.8　「冬」到達證明可能性的漫漫旅程　　330
10.8.1　整裝待發　330
10.8.2　整數論　331
10.8.3　數列　333
10.8.4　變數．符號．邏輯式　335
10.8.5　公理．定理．形式證明　343
10.9　「新春」不能判定的哥德爾句　347
10.9.1　「季節」的確認　347
10.9.2　「種子」由意義的世界進入形式的世界　348
10.9.3　「新芽」p的定義　351
10.9.4　「枝」r的定義　351
10.9.5　「葉」從A1開始的流程　352
10.9.6　「花蕾」從B1開始的流程　353
10.9.7　能判定的語句的定義　353
10.9.8　「梅」 IsProvable(g)的證明　319
10.9.9　「桃」 IsProvable(not(g))的證明    　355
10.9.10　「櫻」形式體系P為不完全的證明　357
10.10　不完全性定理的意義　359
10.10.1　「我是無法證明的」　359
10.10.2　第二不完全性定理的證明概略　363
10.10.3　由不完全性定理之中萌生的東西　365
10.10.4　數學的極限？　366
10.11　乘載著夢想　368
10.11.1　並非是結束　368
10.11.2　我的東西　369

尾聲　373
後記　377
參考文獻與閱讀指南　381
索引　387