無限小（修訂版）：一個危險的數學理論如何形塑現代世界


	現代世紀的靈魂取決於無限小　　無限小的戰爭是一場你死我活的生存之戰，無限小的勝利帶來了現代文明的進步　　無限小理論是微積分與許多現代數學以及科技的基礎，它究竟如何影響十六、十七世紀的文明發展？　　從歐洲宗教戰爭到英國內戰，從耶穌會到英國皇家學會，從伽利略到牛頓，無限小是無數神學家、數學家、哲學家熱辣辣戰爭的主角，它也是歐洲科學進步、思想自由以及更寬容社會的關鍵，義大利與英國成為現代國家的分野。　　一六三二年八月十日，五位穿著飄拂黑袍的人，受召在一棟堂皇卻陰沉的羅馬建築物中，裁定一個令人誤以為簡單的理論：一條連續的線是由獨立但無限的微小部分組成。耶穌會的神父們大筆一揮，禁止了無限小的概念，宣布永遠不能教授這個理論，甚至連提都不准提。他們認為這個概念危險又具顛覆性，對世界是一個有秩序的地方，而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受了無限小，耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。　　獲獎無數的歷史學家阿米爾．亞歷山大在《無限小》中揭發了耶穌會這個裁決背後的深層原因，並敘述無限小的理論如何繼續，終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。的確，並非所有人都贊同耶穌會。歐洲各地的哲學家、科學家與數學家都接受無限小，並將之視為科學進步、思想自由以及更寬容社會的關鍵。一如亞歷山大在書中所揭露的，支持與反對無限小的兩大陣營在開打前，歐洲的階級與秩序力量就已經在對抗多樣化和改變的力量了。　　這個故事把我們從歐洲宗教戰爭與英國內戰的血腥戰場，帶到當時最偉大的數學家與哲學家的生活中，包括伽利略、托里切利、牛頓、貝拉明樞機主教、湯瑪斯．霍布斯、克里斯多佛．克拉維烏斯與約翰．瓦里斯。在義大利，無限小的挫敗預告了這個國家主導歐洲文化的朝代已經結束；而在英國，無限小的勝利則幫助了這個島國走向了世界第一個現代國家之路。　　從德國的帝國城市到英國薩里郡，從羅馬教廷到倫敦皇家學會的大堂，亞歷山大闡述了一個數學觀念的歧異如何演變成天體與地球的爭論。無限小的矛盾與彈性對應到政治態度的獨斷與民主政體，摒除無限小，除了教宗與國王的正統性，還有我們所相信的人類自由與進步的科學，全都岌岌可危。好評推薦　　「無限小」這個數學觀念，差一點就被威權扼殺了。而你無法想像，如果沒有「無限小」這個觀念，人類文明會停滯在哪個階段！所以，這本書講的是歷史，而不是數學。……好好讀一下這本書，大有益。──歷史評論家　公孫策　　這本書其實就很像托里切利的21道拋物線面積證明，名為介紹拋物線，實則宣揚無限小概念；名為介紹數學概念，實則介紹了整個中世紀錯綜複雜的學術、宗教、信念之爭。……如果說我們覺得課本裡的數學無趣，那很可能不是知識本身的問題，而是我們學習的方法，將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子，讓知識失去了靈魂，只剩下冰冷的軀殼。這本書重新替無限符號「∞」注入了靈魂。──臺師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人　賴以威　　艾米爾．亞歷山大用高度的智慧與超凡的精力，勾勒出史上一次著名的論爭，大家爭辯著數學能否簡化成具有條理與邏輯性的嚴謹推論模式，或者相反的，數學可否成為探索世界奧秘的一種無限制且振奮人心的努力方式)。《無限小》告訴我們數學課程為什麼在現代世界如此受到重視。──劍橋大學科學史教授　賽門．夏佛（Simon Schaffer）　　艾米爾．亞歷山大在《無限小》中，為數學成為現代主角的濫觴，提供了一個新的演繹。他重新賦予無限小戰爭中各個主人翁鮮活的生命，就像他們仍活在我們身邊，卻保存了歷史的真貌。他的筆無縫融合了文化歷史與故事性，娓娓地並行道出數學概念與數學名人的出現。如此有趣的數學歷史，自古以來都是鳳毛麟角。──哥倫比亞與巴黎狄德羅大學數學教授　麥可．哈里斯（Michael Harris）　　你可能難以置信大名鼎鼎的數學家、哲學家與宗教思想家會為了無限小參與一場辛辣的爭議，但這確實是十七世紀發生的事情。在《無限小》這本書中，艾米爾．亞歷山大將這場引人入勝的戰爭，化成了歷史與知識。──太空望遠鏡科學研究院（Space Telescope Science Institute）天體物理學家與《出色謬誤》（Brilliant Blunders）作者　馬里歐．李維歐（Mario Livio）　　我們自以為知道故事的全貌：哥白尼、伽利略、太陽中心論、教會輕率的責難。出色的《無限小》，卻將原子論的這個深度顛覆理論與相關的數學理論，置於現代科學的核心位置。──加州洛杉磯分校傑出歷史教授　瑪格麗特．雅各（Margaret C. Jacob）　　艾米爾．亞歷山大在這本魅力十足的書中，生動地重塑科學歷史上一段陌生到讓人覺得奇妙的章節。原來條理縝密的數學分析基礎之爭，竟是毫不誇張的生死大事；狂熱的耶穌會與英國哲學家，為了幾何學的本質爭論不休，背後牽動的是雙方懸而待決的社會命運。看了這本書，微積分在你眼中，絕對不會再和以前一樣了。──威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授與《怎麼不錯》（How Not to Be Wrong）作者　喬丹．艾倫伯格（Jordan Ellenberg）　　一段引人入勝的故事，闡述了一個數學概念的力量，如何改變這個世界。艾米爾．亞歷山大優雅又活力十足地寫下了熱情、政治與知識的追求如何在數學的競技場上碰撞，然後創造出現代的面貌。每一頁都滿載著非凡人物與想法的迷人故事，《無限小》能幫你更深刻地了解這個世界。──加州柏克萊分校數學教授與《愛與數學》（Love and Math）作者　愛德華．法蘭柯（Edward Frenkel）


	目錄〈導讀〉無限的矛盾，無限的力量賴以威〈推薦〉新想法的成功之道──有智慧、有策略地說服舊秩序公孫策前言：出國的大臣法國大臣索必耶拜訪英國，也受到倫敦皇家學會的熱情招待，但是索必耶卻盛讚皇家學會的敵人霍布斯，並害得自己遭路易十四驅出宮廷。幕後隱情其實跟當時的數學理論戰爭頗有關連。第一部對抗失序的戰爭：耶穌會與無限小的對立聖羅耀拉的弟子耶穌會創建在一個天主教開始沒落的時代，依納爵的羅耀拉和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。數學秩序耶穌會的教育體系中，原本並不特別注重數學，但在克拉維烏斯神父持續努力下，終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學，因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科，但這時的數學，仍以歐幾里得數學原則為主。數學失序虔誠的教徒伽利略，也是當時最偉大的科學家。他為了自己的學說，槓上了耶穌會和教廷，最終被送進宗教審判所，人生最後十幾年都在軟禁中度過。伽利略的弟子卡瓦列里與托里切利持續提出不可分量和無限小的理論證明，更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心，無限小的戰爭即將引爆。你死或我亡：「無限小」的戰爭耶穌會總校訂決議整個耶穌會體系都不得教授與討論無限小。耶穌會和支持伽利略的銳眼學會之間，為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方法而開戰。數學家的戰役支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家古爾丁、貝蒂尼與塔凱，與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團卡瓦列里、托里切利和安潔里。表面上是數學論戰，實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。第二部《巨靈論》與無限小《巨靈論》的出現英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂，令卡文迪許家族的家臣霍布斯，寫下哲學傑作《巨靈論》。幾何學家湯瑪斯．霍布斯幾何學中，每一個結果都是建立在另一個較簡單的結果之上，因此可以一步步符合邏輯地向前推進，從不證自明的真理，朝著愈來愈複雜的真理邁進。霍布斯因此認為數學應該沒有解不開的難題。約翰．瓦里斯是何方神聖？在數學家瓦里斯的眼中，數學毫無貴族氣息，徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。也因此，他和「隱形大學」（後來成為「皇家學會」）的夥伴對數學的使用方式與霍布斯大相逕庭。新世界的數學歸納法和實驗數學，讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上，於是英國邁上君主立憲之途，各種科學研究也不斷開花結果，於是英國成為歐洲最先現代化的國家。後記：兩個現代隨著無限小戰爭的開打，義大利的尖端數學停滯不前，英國的數學卻快速成為主導歐洲的國家傳統之一，僅有法國可與之匹敵。人物表大事記致謝辭