丘成桐談空間的內在形狀


	廣義相對論研究的是巨大尺度的物體──例如星體、甚至整個宇宙；量子力學則研究甚至整個極小尺度的奇妙現象──例如原子世界。弦論 (String Theory) 則企圖成為兩者間的橋樑。　　從微細的「弦」振動開始，弦論認為我們生活在一個十維的世界中，其中四維是我們日常生活感知的時空，另外六維呢？透過物理學家的努力發現，1976年出現的「卡拉比-丘流形」 (Calabi-Yau Manifolds)，一個純粹的數學幾何結構，正好可以用來刻畫六維空間的內在形狀！　　在《丘成桐談空間的內在形狀》這本書中，丘成桐首次細說從頭，從古希臘時代柏拉圖等幾何學家、到愛因斯坦到卡拉比和丘成桐自己等等的研究、他對幾何學的未來的看法等；敘述了他幾十年來所有成就的來龍去脈以及心路歷程。透過這本書，你可以深切了解近代數學和物理學研究的重要進展，更體會到第一流科學家的研究精神！作者簡介丘成桐　　丘成桐還在香港中文大學數學系念大三時，獲得20世紀微分幾何大師陳省身以及其他好幾位教授推薦到加州大學柏克萊分校攻讀博士，約三年後拿到學位時，當時才22歲。　　丘成桐獲獎無數，包括1982年榮獲相當於數學界諾貝爾獎的費爾茲獎（Fields Medal）；1994年獲得克拉福德獎（Crafoord Prize）1984年當選中華民國中央研究院第15屆院士；1997年獲得美國國家科學獎章；2010年獲頒沃爾夫獎（Wolf Prize）等，均是國際上極高榮譽。他並於1984年當選中華民國中央研究院第15屆院士。　　1976年，年方27歲的丘成桐解決了微分幾何中的一個著名難題「卡拉比猜想」，其結果被稱為「卡拉比-丘流形」，後來被應用在物理學的弦論中，成為描述宇宙空間的理論基石。1979年，他又證明了每個符合愛因斯坦方程式的解都會具有正總質能量，確認平直時空的穩定性因此。，他的研究橫跨數學和物理兩大領域。　　丘成桐成功的解決了許多有名的數學難題，在偏微分方程、微分幾何、複幾何、代數幾何以及廣義相對論等都有影響深遠的貢獻。近年來，他更參與數學教育以及應用數學應用的推動。　　自1987年起，丘成桐在哈佛大學數學系任教，目前剛卸任現為該系系主任。史蒂夫．納迪斯 (Steve Nadis) 　　為著名《天文》雜誌 (Astronomy) 專欄作家，曾參與寫作過二十多本書；在MIT、「關心世事科學家聯盟」(Union of Concerned Scientists) 擔任過專任研究員，也擔任過「世界資源研究所」(World Resources Institute)、「伍茲赫爾海洋研究所」(World Resources Institute) 和WGBH / NOVA等機構之顧問。譯者簡介翁秉仁　　畢業於加州大學聖地牙哥分校，現為臺大數學系副教授，研究領域為低維微分拓樸、微分幾何。曾參與近年國內數學教育改革；主持數學知識網站與、數學部編本網站；《科學人》編譯委員。曾經翻譯《數學：確定性的失落》及《科學人》多篇文章.。此外，曾為《沒有王者之路：幾何原本》經典3.0系列作導讀.。趙學信　　成功大學建築研究所建築碩士，現職台大數學系網站工程師。曾翻譯有《Net & Ten》、《現世》、《數學：確定性的失落》（合譯）等譯作多本。


	目錄推薦文　心腦交會的時空行者∕曾志朗看到萬事萬物之間的深層關聯∕劉炯朗跟著丘教授了解幾何，了解宇宙∕楊祖佑透過人文情懷與素養，展現美妙的數學世界∕金耀基一段精彩的科學探索之旅∕戴自海宇宙．拓樸．十維琴∕黃　鍔要了解自然，不能不用上幾何∕高涌泉譯後序　對曲撫弦好時光∕翁秉仁中文版序　希望年輕人能理解數學之美，以及我做學問的精神英文版序　數學，是一場波瀾壯闊的冒險！序曲　從柏拉圖到宇宙未來的形貌在偉大的前科學時代，柏拉圖就指出，我們所見的世界，只是這個不可見幾何形體的反映罷了。這個觀念深得我心，也和我最知名的數學證明緊密相關。第1章　想像邊緣的宇宙對數學家而言，維度指的是一種「自由度」，也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，只要沒有碰到障礙，它就擁有三個自由度。但維度是不是就只有那麼多？第2章　自然秩序中的幾何因為你瞧，這整齣宇宙大戲──粒子、原子、星辰和其他物質的複雜舞台，不斷地游移、運動與交互作用──都是在同一座舞台上演出，或可說，在一個「空間」之內上演。如果不能掌握空間的詳細特徵，便不能真正理解這齣戲。第3章　打造數學新利器幾何學發展至今，儘管有著豐富的歷史和輝煌的成就，但我們切莫忘記，幾何學仍是一個不斷演變、日新又新的領域，它的進展腳步未曾稍歇。最近幾何學的一項重大演變，是「幾何分析」。第4章　美到難以置信：卡拉比猜想卡拉比猜想對於幾何分析以及對於我個人影響都極為深遠。卡拉比所問的問題其實密切聯繫到愛因斯坦的廣義相對論：假如我們的宇宙全無任何物質，它還會有重力嗎？如果卡拉比是對的，曲率可以讓空無一物的空間仍然有重力。第5章　證明卡拉比（是對？是錯？）每當我以為終於把證明搞定時，論證總會在最後一刻崩潰，一次又一次重演，令人益發沮喪。兩週的煎熬下來，我判斷必定是我的推理出了差錯。唯一的辦法是更弦易轍，改從反方向進攻。第6章　弦論的DNA 弦論必須是十維的理由十分複雜，主要的想法大致如下：維度愈大，弦可以震動的方式就愈多。但為了製造出宇宙中的所有可能性，弦論不只需要大數目的可能震動模式，而且這個數目還必須是特定的數，結果這個數只有十維時空才辦得到。第7章　穿越魔鏡事後證明，這是鏡對稱的重要時刻。許多本來認為鏡對稱是垃圾的數學家，開始意識到終究還是能從物理學家那裡學點東西。數學家莫理森就是很好的例子，他在柏克萊會議時是最直言不諱的批評者，但後來想法完全改變，不久之後就完成許多鏡對稱、弦論、卡拉比-丘流形拓樸轉換等的重大貢獻。第8章　時空中的扭纏用兩種截然不同的方式計算熵，竟然得到相符的結果，這固然值得高興，但是從另一方角度來說，卻也很令人驚訝。布朗大學物理學家西蒙斯說：「沒想到回答這個問題的關鍵步驟，是去計數卡拉比-丘空間中的數學物件。」第9章　回歸現實世界物理學的標準模型是有史以來最成功的理論之一，其中描述了各種物質粒子，以及在這些粒子間來來去去的介子。不過就描述大自然的理論來看，它在某些方面還是有所欠缺。首先，標準模型擁有大概二十個無法由理論決定的待定參數，像是電子和夸克的質量。弦論學者則希望能夠提供這樣的數學解釋，而且除了弦的張力之外，剩下唯一待定的參數就只有空間的幾何。第10章　超越卡拉比丘儘管我偏愛卡拉比-丘流形，且此情在過去三十餘年有增無減。但是對於這個課題，我仍然會保持開放的心態。如果最終對弦論來說，非凱勒流形的價值大於卡拉比-丘流形，我也能欣然接受。第11章　宇宙解體（想知道又不敢問的世界末日問題）雖然沒有人真的知道最終會發生什麼事，不過一般同意，目前宇宙的狀態無法永存，某種真空衰變終究會出現。縱然六維空間的終結可能關係到宇宙的終結，但是這方面的研究勢必得踏進未知之地！第12章　尋找隱藏維度的空間但是，要從哪裡開始呢？是透過望遠鏡觀測？還是讓粒子以相對論速度互相撞擊，再從殘渣碎屑中篩檢出線索？這些是目前炙手可熱的研究，所謂的弦論現象學已經成為理論物理學中蓬勃發展的領域。第13章　數學．真．美確實，人們一次又一次的發現，數學概念如果滿足簡潔、優美的標準，通常最後也能夠應用於大自然。為什麼會如此，依舊是一個謎。其中的神祕之處在於，為什麼與自然世界沒有明顯關連的純數學結構，能夠這麼精確的描述這個世界。第14章　幾何的終結？現在的幾何學也正迫近這個非常類似的情境。古典黎曼幾何已經無法描述量子層次的物理學，因此需要尋求一種新幾何學，一種同時適用於魔術方塊和普朗克長度弦的推廣理論。問題是如何實踐這個想法，就某種程度而言，我們是在黑暗中摸索。後記　每天吃個甜甜圈，想想卡拉比-丘流形最近，韋頓曾經與史聰閔格在普林斯頓見面。當時他沉思之後說：「在二十多年前，誰會想到在卡拉比-丘流形上研究弦論會這麼有趣。我們挖掘得愈深，就學得愈多，因為卡拉比-丘流形是非常豐富又核心的構造。」終曲　進入聖堂，必備幾何根據傳說，柏拉圖在學院入口的大門上，銘刻著下面這句話：不識幾何者，不能入此學園。如果要在我哈佛研究室門口，也掛上一塊標誌的話，我會將文字修改成「不識幾何者，不能出此門。」龐卡萊之夢附錄1　了解三個重要概念：空間、維度、曲率附錄2　名詞解釋附錄3　原文注釋