德國一流大學教你數學家的22個思考工具


	22堂針對一般人開設的數學課，帶你學會抽象思考技巧，解決日常生活的問題。只需具備基礎數學知識跟一顆嘗試冒險的心，即可透過這些容易理解、但極為有效的思考工具，領略數學思考的樂趣與迷人之處。本書是寫給不排斥數學，但總是不得其門而入的讀者。你將學到數學家如何思考問題以及求解，深入體會數學最迷人的真正精髓。　　這本書原本是德國斯圖加特大學2006年的夏季學期中，　　針對非數學系學生所開設的課程教材改寫而成。（課程名稱為：與數學的相遇）　　為什麼很多人始終無緣一窺數學堂奧？　　為什麼你看得懂別人的算式，卻沒有辦法解一個別人沒解過的問題？　　作者在本書向大眾介紹22個以數學原則做基礎的思考工具，　　不只可以簡化大多數人面對難題而本能產生的複雜想法，　　更要活絡你的思路，學習用數學的抽象思考方式解決各種難題。　　有效的思考工具，就是幫助你運用想像力跟邏輯思維，把問題化繁為簡，再以此進一步求解，例如：　　Q：一整片格子狀巧克力，若要全部折斷成單格的小片，最少需要折幾次才能辦到？　　→用「類比原理」思考：試著折斷一片巧克力，折斷後的塊數，永遠比折斷次數多1…… 　　Q：數學天才高斯七歲的時候，老師要全班同學計算「從1加到100的總和」。高斯只花了幾秒就把答案寫好。他是怎麼算出來的？　　→用「富比尼原理」思考：把數字分組，讓每一組數字的和永遠相同，再計算共有多少組…… 　　Q：有2n位大使受邀參加一個慶祝會。每位大使在這群人中最多有n - 1個敵人。要怎樣安排圓桌座位，才能讓每位大使都不會坐在自己的敵人旁邊？　　→用「單向變化原則」思考：A大使的朋友旁邊，絕不可能都坐著B大使的敵人…… 　　22個數學思考工具：　　1. 類比原則　　我們能將這個問題回推到另一個已知答案的類似問題嗎？　　2. 富比尼原理　　我們可否算出某些東西的數目，但卻是用完全不同的方法去算出來？　　3. 奇偶原理　　我們可以從問題是否可能具體區分成兩個互不重疊的類別，來得知問題有沒有解嗎？　　4. 狄利克雷原理　　如果n+1個物件要任意存放在n個格子內，至少會有1個格子放了2個物件。　　5. 排容原理　　我們能不能從比較容易計數的子集合，來算出某個集合中的元素個數？　　6. 相反原則　　我們可不可以先假設某個斷言的反面是對的，然後透過無懈可擊的邏輯推導，得出與所假設事實矛盾的結論，以此來證明原本的斷言是對的？　　7. 歸納原則　　為了證明一堆有序物件當中的全部東西皆具有某種性質，可以先證明第一個東西有此項性質，然後再證明，若其中任意一個東西具有該性質，則下一個東西也有此性質。　　8. 一般化原則　　解決一般問題時，可不可以先刪去一些條件或是改變一些約束條件，然後再把求得的解運用在眼前的特殊情形？　　9. 特殊化原則　　解題時可以先看特殊情況，然後從特殊情況的結果推廣到一般情況的求解嗎？　　10. 變化原則　　我們是不是可以透過控制改變問題的某些層面，從新的角度來觀察，對原本的問題有更深入的理解，進而解開問題？　　11. 不變性原理　　系統裡有沒有一些性質，是在系統本身允許改變時也保持不變的，而從這些性質可以推導出系統可能的發展結果嗎？　　12. 單向變化原則　　在系統經歷了可允許的改變下，系統中有沒有一些性質只會以一種特定方式改變，且從這些變化可以推斷出系統可能的發展？　　13. 無窮遞減法則　　我們可不可以先替某件事給個例子，然後假設從這個例子一定可以推到越來越小例子，但實際上不可能永無止境地越推越小，因而證明這件事不可能發生？　　14. 對稱原理　　在給定系統裡有沒有某些對稱性質，可以讓我們從中取得資訊？　　15. 極值原理　　我們能不能從給定問題的極端情形，研究出所有情形的相關資訊？　　16. 遞迴原理　　解題時可以將問題一步一步推到更簡單的版本嗎？　　17. 步步逼近原則　　解題時，可以先找出一個近似解，然後在後續步驟中持續改進嗎？　　18. 著色原理　　我們可以透過使用顏色，在問題的結構中建構出模式，然後從中汲取解題的資訊嗎？　　19. 隨機化原則　　我們可以在問題裡引進一個隨機的機制，使問題簡化嗎？　　20. 轉換觀點原則　　解題時可以從目標往起點反向進行，然後再翻轉思考方向嗎？　　21. 模組化原則　　解題時可以將問題分解成許多子問題，解決之後再將這些部分解合併成完整的解？　　22. 蠻力原則　　我可以透過試遍所有可能的解法來解題嗎？


	作者簡介克里斯昂．赫塞（Christian Hesse）　　美國哈佛大學博士，曾在加州大學柏克萊分校擔任教職。1991年起，他成為德國斯圖加特大學數學教授。在此期間，他也曾在加拿大皇后大學、菲律賓大學、智利康塞普西翁大學、美國華盛頓大學等校擔任客座學者。　　他的研究興趣是隨機系統，也是教科書《應用機率論》的作者。閒暇時，他喜歡健身和拳擊，也愛好文學和西洋棋。2006年，赫塞教授出版了文集《西洋棋世界的探險》，被《維也納標準報》（Wiener Standard）譽為「關於西洋棋著作中最機智，也最值得一讀的書之一」。他和拳擊傳奇選手克里欽科（Klitschko）兄弟、足球教練菲力克斯．馬加特（Felix Magath）、電影製片人阿圖爾．布勞納（Artur Brauner）、女演員暨歌手威爾（Vaile ）和前世界西洋棋冠軍卡爾波夫（Anatoly Karpov），一起被任命為2008年德勒斯登西洋棋奧林匹克大賽的國際大使。　　赫塞已婚，育有一對兒女。他心目中的英雄是那些一次次被擊倒，卻一次次又站起來的人。最喜歡的畫家是秋天，而最喜歡的一句話，是伏爾泰（Voltaire）答覆有人向他抱怨「生活真是艱苦」時的回應：「跟什麼比？」譯者簡介何秉樺　　（序～Ch.5）　　國立暨南國際大學經濟系碩士，德國畢勒斐大學（Universität Bielefeld）經濟系博士。曾任職國立臺灣大學與商業發展研究院。　　從事政府科技與商業政策研究。主要研究領域為德國中小企業、經濟成長理論、產業經濟與計量經濟理論等。現任職於中國醫藥大學人文與科技學院副教授一職，著有《歐盟與德國對中小企業營運之相關規範與協助措施》、《我國綜合零售業發展現況分析》等專書著作。黃建綸　　（Ch.6～終曲）　　畢業於輔仁大學德文系，德國維爾茲堡大學德文碩士，希望能以道地的中文呈現道地的德文。