高考導數探秘：解題技巧與策略

第1講 函數與導數的定義
1.1 函數的定義與性質
1.1.1 定義與常用函數
1.1.2 函數的基本性質
1.1.3 函數的零點問題
1.1.4 函數定義的推廣
1.2 導數的定義與性質
1.2.1 定義與基本性質
1.2.2 取對數求導法與隱函數求導法*
1.3 導數的應用
1.3.1 單調性與極值點
1.3.2 凹凸性與拐點
1.3.3 證明不等式
1.4 課後練習

第2講 分類討論與分離變量
2.1 分類討論的常見策略
2.1.1 矛盾區間法
2.1.2 端點效應
2.1.3 必要性探路
2.1.4 多次求導
2.2 分離變量的策略與缺陷
2.2.1 分離變量的思路
2.2.2 洛必達法則*
2.2.3 繞開洛必達法則
2.3 解題中的因式分解
2.3.1 多項式的除法
2.3.2 二次方程的十字相乘
2.4 課後練習

第3講 函數不等式
3.1 常見函數不等式
3.1.1 基本函數不等式
3.1.2 指數函數不等式
3.1.3 對數函數不等式
3.1.4 對數分式不等式
3.1.5 對數分式不等式的積分證法
3.1.6 對數平均不等式
3.1.7 三角函數不等式
3.2 函數不等式的應用
3.2.1 巧用“放縮”的手段
3.2.2 放縮取點的技巧
3.3 自然常數e與指數函數
3.3.1 複利問題與指數函數
3.3.2 微分方程與指數函數*
3.4 函數的展開式及其應用*
3.5 課後練習

第4講 多變量問題
4.1 偏導數及其應用
4.1.1 偏導數的引入與意義
4.1.2 偏導數的應用
4.1.3 拉格朗日乘子法*
4.1.4 存在型多變量問題
4.2 有關係的雙變量問題
4.2.1 利用齊次建立關係
4.2.2 利用韋達定理建立關係
4.3 函數的中值定理及其應用
4.4 課後練習

第5講 極值點偏移
5.1 極值點偏移的基本處理方法
5.1.1 確定參數的取值範圍
5.1.2 對稱化構造
5.1.3 對數平均不等式
5.1.4 換元與消元
5.2 極值點偏移的變形
5.2.1 不同的極值點
5.2.2 乘積型極值點偏移
5.2.3 加強不等式
5.2.4 拐點偏移
5.3 構造函數逼近原函數
5.3.1 極值點偏移的新方法
5.3.2 零點差問題的處理策略
5.4 課後練習

第6講 隱零點問題
6.1 隱零點問題的分析
6.2 隱零點問題的處理手段
6.2.1 消去變量
6.2.2 消去參數
6.3 隱零點問題的推廣
6.3.1 兩函數的公切線問題
6.3.2 朗博W函數及其應用*
6.4 課後練習

第7講 複雜函數問題
7.1 指數函數與對數函數的“同構”
7.2 指數函數與對數函數結合
7.2.1 證明不等式
7.2.2 凹凸性反轉的技巧
7.2.3 分類討論問題
7.3 三角函數與其他函數結合
7.3.1 借助三角函數的性質
7.3.2 轉化為其他函數
7.4 三次函數的分析
7.4.1 三次函數的圖像與單調性
7.4.2 與三次函數相關的高考題
7.5 課後練習

第8講 函數與數列結合
8.1 遞推數列相關問題
8.1.1 一階遞推數列的不動點法
8.1.2 高階遞推數列的特徵根法
8.1.3 函數遞推式
8.2 數列求和與不等式
8.2.1 對數求和相關不等式
8.2.2 連乘積相關不等式
8.2.3 借助積分放縮*
8.3 課後練習

第9講 2024年高考導數真題解析
9.1 三次函數問題
9.2 分類討論問題
9.3 多變量問題
9.4 其他導數問題

第10講 微積分選講*
10.1 從實數到無窮大
10.1.1 實數的定義
10.1.2 無窮大的勢
10.2 極限的定義
10.2.1 數列的極限
10.2.2 函數的極限
10.3 微分與積分
10.3.1 導數與微分
10.3.2 定積分與微積分基本定理
課後練習參考答案
附錄 常用函數的圖像

董晟渤，北京大學數學科學學院概率論與數理統計專業在讀研究生，知乎數學話題下的優秀答主“Dylaaan”。在知呼乎上創作與高中數學和大學數學相關的內容，獲得超2000萬次閱讀量，超20萬次收藏。有多年高中數學培優經驗，熟悉高考導數的相關題型，幫助多位學生“從入門到精通”，順利考入北京大學、清華大學、中國人民大學等院校。