高等學校數學基礎課程系列教材：矩陣論

前言

第1章 線性空間與線性變換
1.1線性空間及其性質
1.1.1線性空間的定義
1.1.2線性空間的性質
1.2線性空間的基與座標
1.2.1基與座標的定義
1.2.2基變換與座標變換
1.3線性子空間與同構
1.3.1線性子空間的定義
1.3.2線性子空間的交與和
1.3.3線性空間的同構
1.4線性變換及其運算
1.4.1線性變換的定義
1.4.2線性變換的運算
1.4.3線性變換的矩陣
1.4.4不變子空間
數學家與數學家精神1
習題1

第2章 方陣的相似化簡與內積空間
2.1特徵值與特徵向量
2.1.1變換的特徵值及對應特徵向量
2.1.2特徵值與特徵向量的求法
2.1.3特徵值與特徵向量的性質
2.2若爾當標準形
2.2.1最小多項式
2.2.2λ-矩陣
2.2.3若爾當形矩陣
2.3內積空間
2.3.1歐氏空間
2.3.2標準正交基與施密特正交化
2.3.3正交變換與正交矩陣
2.3.4對稱變換與對稱矩陣
2.3.5酉空間
數學家與數學家精神2
習題2

第3章 矩陣分解
3.1高斯消去法與矩陣的三角分解
3.1.1高斯消去法
3.1.2矩陣的三角分解
3.1.3常用的三角分解公式
3.2矩陣的QR(正交三角)分解
3.2.1QR(正交三角)分解的概念
3.2.2QR分解的實際求法
3.3矩陣的滿秩分解
3.4奇異值分解
數學家與數學家精神3
習題3

第4章 賦範線性空間與矩陣範數
4.1賦範線性空間
4.1.1向量范數的定義
4.1.2向量範數的性質
4.2矩陣的範數
4.2.1矩陣范數的定義與性質
4.2.2算子範數
4.2.3譜範數的性質和譜半徑
4.3攝動分析與矩陣的條件數
4.3.1病態方程組與病態矩陣
4.3.2矩陣的條件數
數學家與數學家精神4
習題4

第5章 矩陣分析及其應用
5.1向量序列和矩陣序列的極限
5.1.1向量序列的極限
5.1.2矩陣序列的極限
5.2矩陣級數與矩陣函數
5.2.1矩陣級數
5.2.2矩陣函數
5.3矩陣的微分與積分
5.3.1矩陣A(t)的導數與積分
5.3.2其他微分概念
5.4矩陣函數在微分方程組中的應用
5.4.1常系數齊次線性微分方程組的解
5.4.2常系數非齊次線性微分方程組的解
數學家與數學家精神5
習題5

第6章 矩陣的廣義逆
6.1矩陣的若干種常用廣義逆
6.1.1廣義逆矩陣的基本概念
6.1.2減號逆A-
6.1.3極小范數廣義逆A-m
6.1.4加號逆A+
6.2廣義逆在解線性方程組中的應用
6.2.1線性方程組求解問題的提法
6.2.2相容方程組的通解與A-
6.2.3相容方程組的極小范數解與A-m
6.2.4矛盾方程組的最小二乘解與A-1
數學家與數學家精神6
習題6

第7章 幾類特殊矩陣與矩陣積
7.1非負矩陣
7.1.1非負矩陣與正矩陣
7.1.2不可約非負矩陣
7.1.3素矩陣與迴圈矩陣
7.2隨機矩陣與雙隨機矩陣
7.3單調矩陣
7.4M矩陣與H矩陣
7.4.1M矩陣
7.4.2H矩陣
7.5T矩陣與漢克爾矩陣
數學家與數學家精神7
習題7

第8章 矩陣在工程中的應用
8.1靜態系統的奇異值分解
8.2圖像壓縮
8.3矩陣的低秩逼近及其應用
8.4離散K-L變換
8.5矩陣在控制論中的應用
8.5.1系統的可觀測性
8.5.2系統的能控性
8.6矩陣在信息編碼中的應用
數學家與數學家精神8
參考文獻