代數學教程（第五卷）：多項式理論

第一章 一般域上的多項式環//1
§1 多項式環//1
1.1 前言·多項式的基本概念 //1
1.2 多項式的相等與運算 //3
1.3 未知量x的代數解釋 //6
1.4 多項式的次數和值 //11
§2 一元多項式環內的可除性及其性質 //15
2.1 一元多項式的可除性 //15
2.2 剩餘除法的顯式表示 //21
2.3 多項式的最大公因式 //26
2.4 分解多項式為不可約因式 //46
§3 多重因式的判定與分離 //54
3.1 多項式的導數 //54
3.2 多重因式的判定與分離//62
§4 以線性二項式為除式的除法·多項式的根 //67
4.1 多項式的根 //67
4.2 韋達公式 //75
4.3 推值法 //77

第二章 有理數域上的多項式環//82
§1 整係數多項式的性質·有理根的計算 //82
1.1 整係數多項式的性質·整係數多項式在有理數域上可約性與在整數環上可約性的一致性 //82
1.2 整係數多項式有理根的特徵·有理根的計算 //87
1.3 整係數多項式不存在有理根的判定 //92
1.4 有理係數方程式的非有理根 //95
§2 有理數域上多項式的分解為不可約因數·不可約性判定 //98
2.1 二、三、四次多項式的分解為不可約因數的判定 //98
2.2 一般多項式分解為不可約因數的判定·克羅內克法則 //105
2.3 艾森斯坦判別法則//107
2.4 佩龍判別法則 //111
2.5 Brown-Graham判別法則 //113

第三章 實數域上的多項式環//118
§1 實數域上的多項式 //118
1.1 零點定理與洛爾定理 //118
1.2 有實根的實係數方程式 //124
§2 根的界限與根的定位法 //126
2.1 引言·根的界限 //126
2.2 斯圖姆定理 //138
2.3 斯圖姆定理的幾何解釋 //144
2.4 斯圖姆一塔斯基定理 //149
2.5 關於實根數的其他定理 //155
§3 多項式的判別系統 //166
3.1 西爾維斯特第二矩陣與斯圖姆一塔斯基序列的關係 //166
3.2 多項式的判別式序列·斯圖姆一塔斯基序列變號數的計算 //177
3.3 多項式的根的判別系統 //182
§4 方程式的數字解法 //185
4.1 霍納法 //185
4.2 拉格朗日法 //189
4.3 羅巴契夫斯基法 //196

第四章 複數域上的多項式環//206
§1 複數域上的多項式 //206
1.1 複數域上任意二次方程式的可解性 //206
1.2 根的存在定理 //208
1.3 代數基本定理 //213
1.4代數基本定理的第二個證明//218
§2 魯歇一霍維茨定理 //229
2.1 魯歇一霍維茨多項式 //229
2.2 魯歇一霍維茨定理 //235
§3 複係數多項式的根的分佈以及對係數的依賴關係 //237
3.1 複係數多項式的根的分佈 //237
3.2 多項式的根對係數的依賴關係//240
3.3 病態方程式 //244

第五章 含多個未知量的多項式//248
§1 含多個未知量的多項式 //248
1.1 含多個未知量的多項式的基本概念 //248
1.2 多元多項式各項的字典排法255
1.3 多個未知量的多項式的值 //257
§2 含多個未知量的多項式的可除性理論 //259
2.1 多個未知量的多項式的可除性理論 //259
2.2 多項式的最大公因式//265
2.3 多元多項式可約性的判定 //270
§3 商域 //275
3.1 多項式環的商域 //275
3.2 商作為函數 //283
3.3 分解有理分式為簡分式 //286
§4 對稱多項式 //291
4.1 對稱多項式 //291
4.2 對稱多項式的補充注解298
4.3 對稱有理分式 //299
4.4 等次的和·牛頓公式 //300
4.5 對兩組未知量對稱的多項式 //304
4.6 對稱多項式在初等代數中的應用//305
§5 消去法理論 //312
5.1 結式 //312
5.2 結式的行列式表現法與結式的基本定理 //319
5.3 未知量的消去法 //326
5.4 判別式 //328
5.5 子結式與公因式 //331
5.6 矩陣的行列式多項式 //340

參考文獻 //346