群論彩圖版

本書旨在説明讀者看到群、 認識群、 驗證群， 從而理解群的實質。 本書通過大量的圖像和直觀解釋來介紹群論。

本書的主要內容有： 群是什麼、 群看起來像什麼、 為什麼學習群、 群的代數定義、 五個群族、 子群、 積與商、 同態的力量、 西羅定理、 伽羅瓦理論。 每章最後一節為習題， 書後附有部分習題答案。

本書適合抽象代數 （ 近世代數） 課程的學生和教師， 也適合那些首次接觸群論並需要在較短時間內理解群論的讀者。
 

致謝
前言
概述 1

第 1 章 群是什麼 2
1. 1 一個有名的玩具 2
1. 2 觀察魔方 3
1. 3 關於對稱性的研究 3
1. 4 群的法則 4
1. 5 習題 5
1. 5. 1 滿足法則的情形 5
1. 5. 2 關於法則的一些結論 6
1. 5. 3 不滿足法則的情形 6
1. 5. 4 數字群 7

第 2 章 群看起來像什麼? 8
2. 1 繪圖 8
2. 2 一個不那麼有名的玩具 10
2. 3 繪製群圖 11
2. 4 凱萊圖 13
2. 5 初識抽象群 14
2. 6 習題 17
2. 6. 1 基礎知識 17
2. 6. 2 繪圖 17
2. 6. 3 回顧 18
2. 6. 4 法則 18
2. 6. 5 圖形 18

第 3 章 為什麼學習群? 20
3. 1 對稱群 20
3. 1. 1 分子的形狀 22
3. 1. 2 晶體學 23
3. 1. 3 藝術與建築 24
3. 2 作用群 27
3. 2. 1 舞蹈 27
3. 2. 2 多項式的根 28
3. 3 群無處不在 29
3. 4 習題 30
3. 4. 1 基礎知識 30
3. 4. 2 分子的對稱性 30
3. 4. 3 重複模式 31
3. 4. 4 舞蹈 32

第 4 章 群的代數定義 33
4. 1 作用都去哪兒了? 33
4. 2 組合, 組合, 組合 35
4. 3 乘法表 36
4. 4 經典定義 38
4. 4. 1 結合律 39
4. 4. 2 逆元素 40
4. 4. 3 群的經典定義 40
4. 4. 4 過去, 現在, 未來 41. 5 習題 41
4. 5. 1 基礎知識 41
4. 5. 2 創建乘法表 42
4. 5. 3 偽乘法表 43
4. 5. 4 低階群 45
4. 5. 5 表的模式 46
4. 5. 6 代數 46

第 5 章 五個群族 49
5. 1 迴圈群 49
5. 1. 1 旋轉體 49
5. 1. 2 乘法表和模加法 50
5. 1. 3 軌道 52
5. 1. 4 循環圖表 53
5. 2 阿貝爾群 53
5. 2. 1 凱萊圖中的非交換性 54
5. 2. 2 交換乘法表 55
5. 2. 3 錯綜複雜的循環圖表 56
5. 3 二面體群 58
5. 3. 1 翻轉與旋轉 58
5. 3. 2 Dn 的凱萊圖 59
5. 3. 3 Dn 的乘法表 60
5. 3. 4 第 7 章的一點預告 60
5. 3. 5 Dn 的循環圖表 60
5. 4 對稱群與交錯群 62
5. 4. 1 置換 62
5. 4. 2 置換群 62
5. 4. 3 柏拉圖立體 64
5. 4. 4 凱萊定理 66
5. 4. 5 小結 69
5. 5 習題 69
5. 5. 1 基礎知識 69
5. 5. 2 理解群族 70
5. 5. 3 小成員 71
5. 5. 4 提高篇 72
5. 5. 5 拓展篇 73
5. 5. 6 凱萊定理 75

第 6 章 子群 77
6. 1 關於凱萊圖, 乘法表說了什麼? 77
6. 1. 1 完善我們的非正式定義 78
6. 2 看見子群 79
6. 3 顯露子群 80
6. 4 陪集 81
6. 5 拉格朗日定理 84
6. 6 習題 86
6. 6. 1 基礎知識 86
6. 6. 2 理解子群 87
6. 6. 3 哈斯圖 89
6. 6. 4 重組視覺化圖 89
6. 6. 5 尋找例子 90

第 7 章 積與商 92
7. 1 直積 92
7. 1. 1 可視地構造直積 93
7. 1. 2 多直積的例子 95
7. 1. 3 為什麼做直積? 96
7. 1. 4 代數觀點 99
7. 2 半直積 102
7. 3 正規子群與商 105
7. 4 正規化子 110
7. 5 共軛 114
7. 6 習題 117 Ⅶ
7. 6. 1 直積 117
7. 6. 2 半直積 119
7. 6. 3 商 119
7. 6. 4 正規化子 120
7. 6. 5 共軛 121

第 8 章 同態的力量 123
8. 1 嵌入和商映射 123
8. 1. 1 嵌入 127
8. 1. 2 商映射 128
8. 2 同態基本定理 131
8. 3 模運算 133
8. 4 直積與互素 136
8. 5 阿貝爾群基本定理 139
8. 6 再訪半直積 140
8. 7 習題 142
8. 7. 1 基礎知識 142
8. 7. 2 同態 143
8. 7. 3 嵌入 143
8. 7. 4 商映射 144
8. 7. 5 阿貝爾化 144
8. 7. 6 模運算 145
8. 7. 7 互素 145
8. 7. 8 半直積 146
8. 7. 9 同構 147
8. 7. 10 有限交換群 149

第 9 章 西羅定理 152
9. 1 群作用 153
9. 2 走向西羅: 柯西定理 157
9. 2. 1 6 階群的分類 161
9. 3 p - 群 162
9. 4 西羅定理 165
9. 4. 1 西羅定理: p - 子群的存在性 165
9. 4. 2 8 階群的分類 168
9. 4. 3 第二西羅定理: p - 子群間的關係 170
9. 4. 4 第三西羅定理: p - 子群的個數 172
9. 4. 5 15 階群的分類 173
9. 5 習題 174
9. 5. 1 基礎知識 174
9. 5. 2 群作用和作用圖 174
9. 5. 3 論證 174
9. 5. 4 西羅 p - 子群 175
9. 5. 5 給定階群的分類 175

第 10 章 伽羅瓦理論 177
10. 1 大問題 177
10. 2 多大問題 180
10. 3 域擴張的視覺化 182
10. 4 不可約多項式 185
10. 5 伽羅瓦群 187
10. 5. 1 一個小的域擴張:
Q Q (槡2) 187
10. 5. 2 Q Q (槡2) 的對稱性 188
10. 5. 3 域擴張的對稱性 189
10. 5. 4 Q Q (槡2, 槡3) 的對稱性 191
10. 5. 5 Q Q (槡3 2) 的對稱性 193
10. 6 伽羅瓦理論的核心 195
10. 7 不可解 198
10. 7. 1 一個不可解群 198
10. 7. 2 一個不可解多項式 200
10. 7. 3 結論 202
10. 8 習題 202
10. 8. 1 基礎知識 202
10. 8. 2 域和擴張 204
10. 8. 3 多項式和可解性 207
10. 8. 4 有限域 208

部分習題答案 209
符號索引 229
參考文獻 231