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第六章 帶度量的線性空間………………………………………… 1 §1 歐幾裡得空間的定義和基本性質 …………………………… 1 1. 歐幾裡得空間的定義………………………………………… 1 2. 有限維的歐氏空間 ………………………………………… 5 3. 正交補 …………………………………………………… 13 習題一 ……………………………………………………… 14 §2 歐幾裡得空間中的特殊線性變換 …………………………… 18 1. 正交變換 ………………………………………………… 18 2. 對稱變換 ………………………………………………… 26 3. 用正交矩陣化實對稱矩陣成對角形…………………………… 30 習題二 ……………………………………………………… 39 §3 酉空間 …………………………………………………… 43 1. 酉空間的基本概念 ………………………………………… 43 2. 酉變換 …………………………………………………… 48 3. 正規變換與埃爾米特變換…………………………………… 49 習題三 ……………………………………………………… 55 §4 四維時空空間與辛空間 …………………………………… 58 1. 四維時空空間的度量 ……………………………………… 59 2. 辛空間 …………………………………………………… 64 習題四 ……………………………………………………… 70 本章小結………………………………………………………… 72 第七章 線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 74 §1 冪零線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 74 1. 迴圈不變子空間 …………………………………………… 75 2. 冪零線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 78 習題一 ……………………………………………………… 81 §2 一般線性變換的若爾當標準形 ……………………………… 83 1. 若爾當塊與若爾當形 ……………………………………… 83 2. 若爾當標準形的存在性 …………………………………… 84 3. 若爾當標準形的唯一性 …………………………………… 87 4. 若爾當標準形的計算方法…………………………………… 91 習題二 ……………………………………………………… 92 §3 最小多項式………………………………………………… 95 1. 方陣的化零多項式 ………………………………………… 95 2. 方陣的最小多項式 ………………………………………… 97 習題三 …………………………………………………… 102 §4 矩陣函數 ………………………………………………… 104 1. 矩陣序列的極限 ………………………………………… 104 2. 矩陣函數 ……………………………………………… 106 3. 歐氏空間中的旋轉 ……………………………………… 117 習題四 …………………………………………………… 119 本章小結 ……………………………………………………… 122 第八章 有理整數環……………………………………………… 124 §1 有理整數環的基本概念 …………………………………… 124 1. 整除性理論 ……………………………………………… 125 2. 有理整數環的理想 ……………………………………… 127 3. 因數分解唯一定理 ……………………………………… 130 習題一 …………………………………………………… 132 §2 同餘式 …………………………………………………… 133 1. 歐拉函數 ……………………………………………… 135 2. 中國剩餘定理 …………………………………………… 138 習題二 …………………………………………………… 139 §3 模m 的剩餘類環 ………………………………………… 140 習題三 …………………………………………………… 142 本章小結 ……………………………………………………… 143 第九章 一元多項式環…………………………………………… 145 §1 一元多項式環的基本理論 ………………………………… 145 1. 整除理論 ……………………………………………… 148 2. K[x]內的理想 ………………………………………… 151 3. 在線性代數中的應用……………………………………… 154 4. 因式分解唯一定理 ……………………………………… 155 5. 重因式 ………………………………………………… 158 6. 中國剩餘定理 …………………………………………… 161 習題一 …………………………………………………… 166 §2 C，R，Q上多項式的因式分解 …………………………… 169 1. C[x]與R[x]內多項式的因式分解………………………… 169 2. Q[x]內多項式的因式分解………………………………… 171 3. Z[x]內多項式的因式分解………………………………… 174 習題二 …………………………………………………… 177 §3 實係數多項式根的分佈 …………………………………… 179 習題三 …………………………………………………… 184 §4 單變數有理函數域 ……………………………………… 185 1. 單變數有理函數域的定義 ………………………………… 185 2. 有理分式分解為准素分式 ………………………………… 188 習題四 …………………………………………………… 191 §5 群、環和域的基本概念 …………………………………… 192 1. 群的基本概念 …………………………………………… 192 2. 環和域的基本概念 ……………………………………… 196 習題五 …………………………………………………… 200 本章小結 ……………………………………………………… 201 第十章 多元多項式環…………………………………………… 204 §1 多元多項式環的基本概念 ………………………………… 204 1. 整除性與因式分解 ……………………………………… 209 2. 多變數有理函數域 ……………………………………… 210 習題一 …………………………………………………… 211 §2 對稱多項式 ……………………………………………… 213 習題二 …………………………………………………… 222 §3 結式……………………………………………………… 223 1. 結式的概念 ……………………………………………… 223 2. 結式的計算 ……………………………………………… 225 習題三 …………………………………………………… 231 本章小結 ……………………………………………………… 232 第十一章 n 維仿射空間與n 維射影空間 …………………… 233 §1 n 維仿射空間 …………………………………………… 233 1. Rn 內的仿射變換與正交變換 ……………………………… 235 2. Rn 中二次超曲面的分類…………………………………… 238 3. 多元函數的極值 ………………………………………… 243 習題一 …………………………………………………… 247 §2 n 維射影空間 …………………………………………… 248 習題二 …………………………………………………… 256 第十二章 張量積與外代數 …………………………………… 257 §1 多重線性映射 …………………………………………… 257 1. 線性空間的對偶空間……………………………………… 257 2. 多重線性映射 …………………………………………… 259 習題一 …………………………………………………… 262 §2 線性空間的張量積 ……………………………………… 263 1. 張量積的定義 …………………………………………… 263 2. 線性變換的張量積 ……………………………………… 268 習題二 …………………………………………………… 269 §3 張量……………………………………………………… 270 1. 張量的基本概念 ………………………………………… 270 2. 張量的加法和乘法 ……………………………………… 273 習題三 …………………………………………………… 274 §4 外代數 …………………………………………………… 275 習題四 …………………………………………………… 284 習題答案與提示…………………………………………………… 287
藍以中 北京大學數學科學學院教授。1963年畢業于北京大學數學力學系，長期從事代數學和數論的科學研究和教學工作。
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