抽象分析基礎（第2版）

第1章 點集拓撲與測度
1.1集與映射
1.1.1集與映射的概念
1.1.2積集，商集，極限集
1.1.3Cantor定理與Zorn引理
1.2拓撲空間
1.2.1拓撲空間的基本概念
1.2.2可數性公理及分離性公理
1.2.3緊性與連通性
1.3測度空間
1.3.1可測空間與可測映射
1.3.2實值函數與複值函數的可測性
1.3.3測度的基本性質
1.3.4Lebesgue測度
習題

第2章 抽象積分
2.1可測函數的積分
2.1.1Lebesgue積分的定義
2.1.2單調收斂定理
2.1.3Lebesgue積分的基本性質
2.2積分收斂定理及應用
2.2.1積分收斂定理
2.2.2Riemann可積性
2.2.3可測函數的連續性
2.3乘積空間上的積分及不等式
2.3.1積空間的可測性
2.3.2乘積測度
2.3.3Fubini定理
2.3.4積分不等式
2.4不定積分的微分
2.4.1單調函數的導數
2.4.2有界變差函數
2.4.3絕對連續函數
2.4.4Stieltjes積分與廣義的測度
習題

第3章 Banach空間理論基礎
3.1相關向量與度量的基本空間類
3.1.1線性空間與凸集
3.1.2度量空間與球
3.1.3賦範空間及例子
3.1.4內積空間及例子
3.2拓撲線性空間
3.2.1拓撲線性空間及其原點的鄰域
3.2.2局部有界空間與局部凸空間
3.2.3空間的同構
3.3完備性與可分性
3.3.1空間的完備性
3.3.2空間的稠密性與可分性
3.3.3Baire綱定理
3.4緊性與有限維空間
3.4.1度量空間中的緊性
3.4.2有限維空間
3.4.3Arzela-Ascoli定理與Mazur定理
習題

第4章 線性運算元理論基礎
4.1線性運算元與泛函的有界性
4.1.1有界性與連續性
4.1.2運算元空間的完備性
4.1.3線性泛函的零空間
4.1.4線性運算元範數的估算
4.2線性運算元的基本定理
4.2.1一致有界原理
4.2.2開映射定理
4.2.3閉圖像定理
4.3線性泛函的基本定理
4.3.1Hahn-Banach定理
4.3.2Hahn-Banach定理的幾何形式
4.3.3凸集隔離定理
4.4共軛性與序列弱收斂
4.4.1共軛空間的表示
4.4.2自反空間與自然嵌入運算元
4.4.3Banach共軛運算元
4.4.4點列的弱收斂性
4.4.5運算元列的弱收斂性
習題

第5章 抽象空間的幾何
5.1Hilbert幾何
5.1.1規範正交基
5.1.2正交投影
5.1.3共軛性
5.2空間的構作與分解
5.2.1積空間與商空間
5.2.2空間的分解與投影
5.2.3零化子
5.2.4線性緊運算元與Fredholm運算元
5.3弱緊性與圓凸性
5.3.1弱拓撲與弱拓撲
5.3.2弱緊性，弱緊性與自反性
5.3.3凸集的端點
5.3.4圓凸性與光滑性
5.3.5最佳逼近
習題

第6章 不動點理論初步
6.1Banach壓縮映射原理
6.2凸緊集上的不動點定理
6.3壓縮擾動、非擴張映射與集值映射
習題

第7章 Banach代數與譜理論初步
7.1Banach代數與譜
7.2有界線性運算元的譜
7.3符號演算與譜分解
習題

第8章 向量值函數與運算元半群初步
8.1向量值函數
8.2運算元半群的基本性質
8.3運算元半群的生成元表示
習題

第9章 無界線性運算元初步
9.1圖範數及可閉性
9.2對稱運算元
9.3無界運算元的譜
習題

參考文獻

肖建中

1958年1月出生，江蘇省泰興人，中國共產黨黨員，南京資訊工程大學教授，研究生導師，教學督導員，1998年與2001年兩次入選江蘇省“333工程”培養物件；主要從事泛函分析理論與應用方面的研究工作，研究方向包括：泛函分析空間理論、概率度量線性空間上的泛函分析、模糊泛函分析、格上度量理論、運算元不動點理論與應用、抽象空間的方程與包含理論、數學控制理論等，在《數學學報》《應用數學學報》《Fuzzy Sets and Systems》《Nonlinear Analysis》等刊物發表學術論文80餘篇，其中被SCI收錄30余篇，成果曾獲得省廳與地市級獎4項；先後任教數學分析、高等數學、複變函數、實變函數、泛函分析、點集拓撲、常微分方程等本科生課程及實分析與泛函分析、非線性泛函分析、模糊數學及應用等研究生課程，主編出版《抽象分析基礎》《數學分析》等教材，獲南京資訊工程大學教學突出貢獻獎、教學名師獎及“十佳教師”榮譽稱號。