簡明隨機過程

前言

第1章 預備知識 1
1.1 概率及其基本性質 1
1.1.1 概率空間 1
1.1.2 概率連續性 3
1.1.3 條件概率及相關公式 5
習題1.1 6
1.2 隨機變數及其數位特徵 6
1.2.1 隨機變數及其分佈 6
1.2.2 黎曼–斯蒂爾切斯積分 10
1.2.3 數位特徵 13
1.2.4 矩母函數與特徵函數 15
習題1.2 17
1.3 條件數學期望 17
1.3.1 條件數學期望的概念 17
1.3.2 條件數學期望的性質 21
習題1.3 22
1.4 常用的極限定理 23

第2章 隨機過程初步 26
2.1 隨機過程的基本概念 26
2.1.1 隨機過程的定義 26
2.1.2 有限維聯合分佈函數族和數位特徵 27
2.1.3 平穩過程 29
2.1.4 獨立平穩增量過程 30
2.1.5 馬爾可夫過程 32
習題2.1 32
2.2 泊松過程 33
2.2.1 泊松過程的概念 33
2.2.2 指數流與泊松過程 37
2.2.3 指數流的條件分佈 42
2.2.4 剩餘壽命與年齡 45
2.2.5 泊松過程常見的推廣 47
習題2.2 54
2.3 布朗運動 56
2.3.1 布朗運動的概念 .56
2.3.2 首中時 59
2.3.3 反正弦律 61
2.3.4 布朗運動的幾種變化 62
習題2.3 65

第3章 馬爾可夫鏈 66
3.1 馬爾可夫鏈及其轉移概率 66
3.1.1 基本概念 66
3.1.2 查普曼–科爾莫戈羅夫方程 68
習題3.1 71
3.2 狀態的分類及其性質 72
3.2.1 互通 72
3.2.2 常返與非常返狀態 73
3.2.3 週期性 77
3.2.4 正常返和零常返狀態 78
習題3.2 80
3.3 狀態空間的分解 81
3.3.1 閉集 81
3.3.2 分解定理 82
習題3.3 85
3.4 極限定理與平穩分佈 86
3.4.1 極限定理 86
3.4.2 平穩分佈 89
習題3.4 94
3.5 連續時間馬爾可夫鏈 95
3.5.1 概念和基本性質 95
3.5.2 轉移概率的性質 97
3.5.3 科爾莫戈羅夫向前–向後微分方程 99
習題3.5 101

第4章 更新過程 103
4.1 更新過程的概念 103
4.1.1 更新過程的定義 103
4.1.2 更新次數的極限 104
4.1.3 卷積及其性質 105
4.1.4 更新函數及其基本性質 107
習題4.1 109
4.2 更新方程和更新定理 109
4.2.1 更新方程及其基本性質 109
4.2.2 更新定理 112
習題4.2 117
4.3 更新過程的推廣 118
4.3.1 交替更新過程 118
4.3.2 延遲更新過程 119
4.3.3 更新回報過程 120
習題4.3 123

第5章 鞅與停時 124
5.1 鞅的基本概念 124
5.1.1 鞅的概念與舉例 124
5.1.2 上鞅與下鞅 128
5.1.3 鞅的分解定理 130
5.1.4 關於鞅的兩個不等式 132
習題5.1 133
5.2 停時與停時定理 134
5.2.1 停時的概念 135
5.2.2 停時定理 135
5.2.3 停時定理的補充 140
習題5.2 141
5.3 鞅收斂定理 142
5.3.1 上穿不等式 142
5.3.2 鞅收斂定理 144
習題5.3 147
5.4 連續鞅初步 147
習題5.4 149

第6章 隨機積分與隨機微分方程 150
6.1 伊藤積分的定義 150
6.1.1 布朗運動軌道的性質 150
6.1.2 簡單過程的伊藤積分 152
6.1.3 適應過程的伊藤積分 155
習題6.1 158
6.2 伊藤積分過程 158
6.2.1 伊藤積分的鞅性 159
6.2.2 伊藤積分的二次變差和協變差 160
6.2.3 伊藤積分與高斯過程 161
習題6.2 162
6.3 伊藤公式 163
6.3.1 關於布朗運動的伊藤公式 163
6.3.2 伊藤過程與隨機微分 165
6.3.3 關於伊藤過程的伊藤公式 168
習題6.3 172
6.4 隨機微分方程 173
6.4.1 隨機微分方程的定義 173
6.4.2 隨機指數和對數 176
6.4.3 線性隨機微分方程的解 178
6.4.4 隨機微分方程解的存在專享性 180
習題6.4 181

第7章 隨機過程在金融保險中的應用舉例 182
7.1 破產理論 182
7.1.1 風險過程與破產概率的相關概念 182
7.1.2 安全負荷與調節係數 184
7.1.3 破產概率的估計 187
習題7.1 190
7.2 金融衍生產品的定價 190
7.2.1 金融術語和基本假定 190
7.2.2 定價方法 192
習題7.2 194
習題參考答案 195
參考文獻 224