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第一章 緒論 1.1 解方程是數學應用於實踐的魅力所在 1.2 微分方程數值解(科學計算) 的必要性 1.2.1 微分方程數值解(科學計算) 的廣泛應用 附錄: KdV 方程(1.1) 行波解(1.2) 的匯出 習題1 參考文獻 第二章橢圓型方程的差分方法 2.1 從一個簡單例子談起 2.2 求解線性代數方程組的幾類基本反覆運算法 2.3 求解矩形域上Poisson 方程的五點差分格式 2.3.1 五點差分格式 2.3.2 理論分析 2.3.3 離散後線性方程組的基本求解方法 2.4 求解五點差分格式的快速DST 方法 2.4.1 矩陣方程 2.4.2 矩陣方程的求解 2.4.3 離散正弦變換及應用 2.4.4 求解五點差分格式的快速DST 方法和其他方法的計算效果 2.5 求解矩形域上Poisson 方程的緊致差分格式 2.5.1 兩點邊值問題(2.1) 的緊致差分格式 2.5.2 Poisson 方程緊致差分格式的構造 2.5.3 求解Poisson 方程緊致差分格式的快速演算法 2.6 求解橢圓型方程一般差分格式的極值原理 2.6.1 橢圓型差分格式的一般形式 2.6.2 極值原理I 與最大模估計 2.6.3 極值原理II 與最大模估計 習題2 參考文獻 第三章發展方程有限差分法的基本概念和理論 3.1 有限差分法的構造 3.1.1 解域的離散 3.1.2 用數值微分法建立差分格式 3.2 構造差分格式的有限體積法 3.3 差分格式的截斷誤差、相容性和構造差分格式的待定係數法 3.4 差分格式的收斂性與穩定性 3.5 判別差分格式穩定性的Fourier 方法 3.6 Von-Neumann 條件及在差分格式穩定性分析中的應用 3.7 差分格式穩定性的其他研究方法 附錄差分格式的抽象框架與Lax 等價性定理 習題3 參考文獻 第四章雙曲型方程的差分方法 4.1 一階線性常係數雙曲型方程初值問題 4.2 CFL 條件 4.3 利用特徵線構造差分格式 4.4 差分格式的耗散、色散與余項效應分析 4.4.1 耗散與色散 4.4.2 差分格式的修正偏微分方程(MPDE) 4.4.3 基於修正偏微分方程的耗散和色散分析 4.4.4 基於修正偏微分方程構造改進的差分格式 4.5 一階變係數雙曲型方程初值問題 4.5.1 解的存在、唯一性 4.5.2 差分方法及穩定性分析 4.6 一階雙曲型方程的初邊值問題 4.7 二階雙曲型方程 附錄 Hadmard 定理的證明 習題4 參考文獻 第五章拋物型方程的差分 5.1 一維常係數拋物型方程初值問題 5.2 一維變係數拋物型方程初值問題 5.3 初邊值問題 5.4 對流擴散方程 5.5 Richardson 外推法 5.5.1 外推法與_ 的高效計算 5.5.2 差分方程的外推法 5.6 二維拋物型方程的差分方法 5.7 運算元分裂方法 5.7.1 從一個簡單例子談起 5.7.2 分裂格式的半群理解 5.7.3 運算元分裂方法在拋物型方程差分方法中的應用 習題5 參考文獻 第六章變分方法 6.1 歷史背景 6.2 變分問題解的必要條件 6.3 二次函數極值問題 6.4 一維區域上的Sobolev 空間 6.5 一維變分問題 6.6 二維變分問題 6.7 變分問題的近似計算 附錄 高維Sobolev 空間初步 習題6 參考文獻 第七章有限元方法的構造與理論基礎 7.1 一維橢圓問題的有限元方法——線性元 7.1.1 有限元空間的構造 7.1.2 有限元方程組的形成 7.2 一維橢圓問題線性有限元方法的理論分析 7.2.1 可解性分析 7.2.2 收斂性分析 7.3 後驗誤差估計及自我調整有限元方法 7.3.1 網格剖分的重要性 7.3.2 後驗誤差估計 7.3.3 自我調整有限元方法 7.4 二維橢圓問題的有限元方法 7.4.1 單元劃分及試探函數空間的形成 7.4.2 有限元方程的形成 7.4.3 約束條件處理 7.4.4 單元積分的計算 習題7 參考文獻 第八章橢圓型方程有限元方法的MATLAB 程式設計 8.1 模型問題 8.1.1 問題的Galerkin 離散 8.1.2 區域- 的剖分資訊 8.1.3 剛度矩陣的組裝 8.1.4 右端項的組裝 8.1.5 Dirichlet 條件的處理 8.1.6 數值解的計算和顯示 8.1.7 求解二維Poisson 問題的完整MATLAB 程式 8.2 數值實驗 8.2.1 一維橢圓型方程的求解算例 8.2.2 二維橢圓型方程的求解算例 8.3 MATLAB 網格資料與區域描述 8.3.1 MATLAB 網格資料的使用 8.3.2 MATLAB 區域描述方法 習題8 參考文獻 第九章二維問題有限元方法的誤差分析 9.1 二維橢圓型方程有限元方法的誤差估計I 9.1.1 抽象誤差估計 9.1.2 插值運算元誤差估計-Taylor 展開方法 9.2 二維橢圓型方程有限元方法的誤差估計II 9.2.1 仿射簇 9.2.2 局部插值運算元誤差估計 9.2.3 二階問題的誤差估計 9.2.4 L2 範數誤差估計 9.2.5 非光滑解的收斂性 9.3 拋物型方程的有限元法 9.3.1 半離散有限元法 9.3.2 誤差分析 9.3.3 全離散格式及其誤差分析 9.3.4 二維拋物型方程的求解算例 9.4 雙曲型方程的有限元法 9.4.1 誤差分析 9.4.2 二維雙曲型方程的求解算例 習題9 參考文獻
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