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前言 第1章 點列極限與實數理論 1.1 數列極限與Stolz定理 1.1.1 數列極限 1.1.2 無窮大量 1.1.3 Stolz定理 1.2 實數系的基本定理 1.2.1 單調有界定理 1.2.2 閉區間套定理 1.2.3 歸併原理與Bolzano-Weierstrass定理 1.2.4 Cauchy收斂原理 1.2.5 確界存在定理 1.2.6 有限覆蓋定理 1.2.7 實數系基本定理的等價性 1.3 上極限與下極限 1.3.1 數列的上極限與下極限 1.3.2 上極限與下極限的運算 1.3.3 上極限與下極限的應用 1.4 Rd中點列的極限及基本定理 1.4.1 Rd中的一些常用概念 1.4.2 Rd中點列的極限 1.4.3 Rd中的基本定理 1.5 壓縮映射原理 1.5.1 一元函數的壓縮映射原理 1.5.2 多元向量值函數的壓縮映射原理 習題 第2章 函數極限與連續函數 2.1 一元函數的極限與連續 2.1.1 函數極限的定義與Heine-Borel定理 2.1.2 函數極限的Cauchy收斂原理 2.1.3 連續函數 2.1.4 一致連續 2.2 閉區間上連續函數的性質 2.3 指數函數、對數函數、冪函數 2.3.1 指數函數 2.3.2 對數函數 2.3.3 冪函數 2.4 有界變差函數簡介 2.5 混沌初步 2.6 多元函數的極限與連續 2.6.1 多元函數的極限 2.6.2 多元連續函數 2.6.3 緊集上的多元連續函數的性質 2.6.4 二元凸函數的連續性 2.6.5 向量值函數的極限與連續 習題 第3章 微分學 3.1 一元函數導函數的性質 3.1.1 導數的定義 3.1.2 導數極限定理 3.1.3 導函數中間值性質 3.1.4 導數的逼近 3.2 一元函數的Taylor公式及其應用 3.2.1 一元函數的Taylor公式 3.2.2 一元函數的Taylor公式在理論分析中的應用 3.2.3 一元函數的Taylor公式在近似計算中的應用 3.3 多元函數的偏導數與Taylor公式 3.3.1 偏導數及其性質 3.3.2 多元函數的Taylor公式及其應用 3.3.3 多元函數向量值函數的微分學 3.4 隱函數定理 3.4.1 一個方程所確定的隱函數 3.4.2 方程組所確定的隱函數組 3.5 條件極值 習題 第4章 積分學 4.1 定積分 4.1.1 Riemann積分的定義及其性質 4.1.2 Darboux和及其性質 4.1.3 Riemann可積的條件 4.1.4 Newton-Leibniz公式 4.1.5 積分中值定理 4.2 重積分 4.2.1 平面點集的面積 4.2.2 二重積分的定義與存在性 4.2.3 二重積分的計算 4.3 曲線積分與曲面積分 4.3.1 曲線積分 4.3.2 曲面的面積 4.3.3 曲面積分 4.3.4 Green公式、Gauss公式、Stokes公式 4.4 反常積分 4.4.1 無界區間上的反常積分 4.4.2 無界函數的瑕積分 4.4.3 反常積分的Cauchy主值 4.4.4 反常重積分 4.5 含參變數的定積分 4.6 含參變數的反常積分 4.6.1 含參變數反常積分一致收斂的定義 4.6.2 含參變數反常積分一致收斂的判別 4.6.3 含參變數反常積分一致收斂的性質 4.6.4 Γ函數與Beta函數 4.7 變分學初步 4.7.1 一元函數情形 4.7.2 多元函數情形 習題 第5章 級數理論 5.1 數項級數 5.1.1 正項級數斂散性的判別 5.1.2 一般項級數斂散性的判別 5.1.3 加法結合律 5.1.4 加法交換律 5.1.5 級數的乘法 5.2 函數列與函數項級數 5.2.1 函數列一致收斂的定義及其性質 5.2.2 函數項級數一致收斂的定義及判別法 5.2.3 函數項級數和函數的分析性質 5.3 冪級數 5.3.1 冪級數的和函數的基本性質 5.3.2 Taylor級數與函數的冪級數展開 5.3.3 複值冪級數與Euler公式 5.4 Fourier分析初步 5.4.1 Dirichlet積分 5.4.2 Fourier級數的收斂判別法 5.4.3 Fourier級數的積分與求導 5.4.4 Fourier級數的逼近性質 5.4.5 Fourier變換和Fourier積分 習題 第6章 常微分方程 6.1 解的存在與延拓、比較定理 6.1.1 解的存在和唯一性定理 6.1.2 解的延拓 6.1.3 比較定理 6.2 線性微分方程組 6.2.1 齊次線性微分方程組 6.2.2 非齊次線性微分方程組 6.2.3 常係數齊次線性微分方程組的求解 6.3 穩定性理論初步 6.3.1 Lyapunov穩定性 6.3.2 按線性近似決定穩定性 習題 參考答案與提示 參考文獻 索引
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