超奇異積分的數值計算及應用

前言　

第1章　引言　1　

第2章　邊界歸化方法和典型域上的超奇異積分方程　4　
2.1　邊界歸化方法　4　
2.1.1　間接邊界歸化方法　4　
2.1.2　直接邊界歸化方法　11　
2.1.3　邊界積分方程的數值解法　13　
2.1.4　自然邊界歸化的基本思想　15　
2.2　典型域上的Poisson積分公式及超奇異積分方程　19　
2.2.1　Ω為上半平面　20　
2.2.2　Ω為圓內區域　21　
2.2.3　Ω為圓外區域　23　
2.2.4　Ω為球內外區域　24　

第3章　超奇異積分定義　28　
3.1　柯西型奇異積分定義　28　
3.1.1　柯西主值積分定義　29　
3.1.2　二維柯西主值積分定義　31　
3.1.3　Hilbert型奇異積分定義　33　
3.1.4　多奇異核積分定義　33　
3.2　超奇異積分定義　34　
3.2.1　Hadamard有限部分積分定義　35　
3.2.2　奇異部分分離定義　37　
3.2.3　積分核級數展開法　38　
3.2.4　求導定義　40　
3.2.5　正則化方法及間接計算法　44　
3.2.6　超奇異積分性質　46　
3.3　超奇異積分的推廣　47　
3.3.1　整數階超奇異積分的推廣　47　
3.3.2　實數階超奇異積分　50
3.3.3　二維奇異積分與超奇異積分的定義　51　

第4章　超奇異積分的計算　54　
4.1　超奇異積分的準確計算　54　
4.1.1　柯西主值積分的準確計算　54　
4.1.2　有限部分積分的準確計算　60　
4.1.3　任意階超奇異積分的準確計算　65　
4.2　牛頓-科茨積分公式　69　
4.2.1　梯形公式和辛普森公式近似計算二階超奇異積分　71　
4.2.2　二階超奇異積分近似計算的改進演算法　74　
4.2.3　數值算例　78　
4.3　高斯積分公式　79　
4.3.1　公式的提出　79　
4.3.2　主要結論　84　
4.4　基於辛普森公式的三階超奇異積分近似計算　88　
4.4.1　公式的提出　88　
4.4.2　數值積分公式　92　
4.4.3　數值算例　95　
4.5　自我調整演算法近似計算超奇異積分　95　
4.5.1　區間上奇異點與剖分節點重合時的誤差估計　95　
4.5.2　圓周上奇異點與剖分節點重合時的誤差估計　102　
4.5.3　數值算例　105　
4.6　其他數值方法　107　

第5章　區間上超奇異積分的超收斂現象　113　
5.1　梯形公式近似計算超奇異積分　113　
5.1.1　積分公式的提出　113　
5.1.2　主要結論　115　
5.1.3　當p=1時定理5.1.1的證明　124　
5.1.4　唯性證明　124　
5.1.5　當p=2時定理5.1.1的證明　125　
5.1.6　數值算例　128　
5.2　辛普森公式近似計算區間上二階超奇異積分　130　
5.2.1　積分公式的提出　130　
5.2.2　主要結論　130　
5.2.3　唯性證明　135　
5.2.4　數值算例　137
5.3　牛頓-科茨公式近似計算區間上二階超奇異積分　137　
5.3.1　主要結論　138　
5.3.2　定理5.3.2的證明　139　
5.3.3　超收斂點的存在性　144　
5.3.4　數值算例　150　
5.4　辛普森公式近似計算區間上三階超奇異積分　　151　
5.4.1　積分公式的提出　152　
5.4.2　主要結論　152　
5.4.3　定理5.4.1的證明　158　
5.4.4　超收斂點的存在唯性　158　
5.4.5　超收斂點的一些應用　162　
5.4.6　數值算例　165　
5.5　牛頓-科茨公式近似計算區間上三階超奇異積分　168　
5.5.1　積分公式的提出　168　
5.5.2　主要結論　171　
5.5.3　S′k(τ)的計算　173　
5.5.4　定理5.5.2的證明　176　
5.5.5　數值算例　182　
5.6　牛頓-科茨公式近似計算區間上任意階超奇異積分　184　
5.6.1　積分公式的提出　184　
5.6.2　主要結論　185　
5.6.3　特殊函數S(p)k(τ)的性質　185　
5.6.4　數值算例　186　

第6章　圓周上超奇異積分的超收斂現象　188　
6.1　梯形公式近似計算圓周上的二階超奇異積分　　188　
6.1.1　積分公式的提出　190　
6.1.2　主要結論　192　
6.1.3　定理　6.1.3　的證明　199　
6.1.4　梯形公式的一些應用　199　
6.1.5　數值算例　205　
6.2　牛頓-科茨公式近似計算圓周上的二階超奇異積分　207　
6.2.1　積分公式和超收斂結論　209　
6.2.2　定理6.2.2的證明　211　
6.2.3　超收斂點的存在性　222　
6.2.4　科茨系數的計算　225
6.2.5　數值算例　227　
6.3　梯形公式近似計算圓周上的三階超奇異積分　　231　
6.3.1　積分公式的提出　231　
6.3.2　主要結論　233　
6.3.3　定理6.3.1的證明　242　
6.3.4　數值算例　246　
6.4　辛普森公式近似計算圓周上三階超奇異積分　250　
6.4.1　積分公式的提出　251　
6.4.2　主要結論　251　
6.4.3　定理6.4.1的證明　252　
6.4.4　數值算例　260　

第7章　外推法近似計算超奇異積分　263　
7.1　外推法近似計算區間上二階超奇異積分　263　
7.1.1　主要結論　264　
7.1.2　定理7.1.1的證明　273　
7.1.3　外推算法　275　
7.1.4　數值算例　278　
7.2　外推法近似計算圓周上二階超奇異積分　281　
7.2.1　主要結論　281　
7.2.2　定理7.2.1的證明　288　
7.2.3　外推算法　290　
7.2.4　數值算例　292　

第8章　配置法求解區間上和圓周上的超奇異積分方程　296　
8.1　基於中矩形公式的配置法求解區間上的超奇異積分方程　296　
8.1.1　積分公式的提出　296　
8.1.2　主要結論　299　
8.1.3　配置法求解區間上的超奇異積分方程　303　
8.1.4　數值算例　310　
8.2　基於中矩形公式的配置法求解圓周上的超奇異積分方程　312　
8.2.1　積分公式的提出　313　
8.2.2　主要結論　315　
8.2.3　配置法求解圓周上的超奇異積分　321　
8.2.4　數值算例　328　

參考文獻　330