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第 1 章 緒 論 20 ☆ 1.1 超越的思維 ....................................... 22 ☆ 1.2 不要用計算來困住自己 ................................. 24 ☆ 1.3 數學小神童是真的嗎？ ................................. 26 ☆ 1.4 近代文明的基石 ....................................... 29 ☆ 1.5 偉大的芝諾詭論 (Paradoxes of Zeno ) ................... 30 ☆ 1.6 金字塔的神奇 ....................................... 32 ☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代 ....................... 33 ☆ 1.8 把數學口語化 ....................................... 34 第 2 章 數學是宇宙的真理 36 ☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎？ ................................... 38 ☆ 2.2 數學是一種偉大的思維 ................................. 40 ☆ 2.3 在「答案」背後的意義.................................. 42 ☆ 2.4 數學是美也是真理 ..................................... 43 ☆ 2.5 數值在歷史上的迷思 ................................... 45 ☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧 ................................... 46 ☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理 ................................. 48 ☆ 2.8 數學之唯美 ....................................... 52 ☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大 ................................... 54 ☆ 2.10 世界上最美的方程式 ................................... 56 ☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式 ........................... 57 ☆ 2.12 思維的特質使人成為天才 ............................... 61 第 3 章 大自然的曼妙哲學與原理 64 ☆ 3.1 脫離傳統的制度 ....................................... 66 ☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她 ............................... 68 ☆ 3.3 偉大的生命曲線 ....................................... 72 ☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係 ........................... 75 ☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ....................................... 78 ☆ 3.6 【典範範例】集錦...................................... 80 【★★★典範範例 3-01】 ................................. 80 【★★★典範範例 3-02】 ................................. 84 【★★★典範範例 3-03】 ................................. 87 【★★★典範範例 3-04】 ................................. 88 【★★★典範範例 3-05】 ................................. 90 【★★★典範範例 3-06】 ................................. 91 【★★★典範範例 3-07】 ................................. 93 【★★★★典範範例 3-08】[ 研究與分析 ] ................... 94 第 4 章 從微積分的思維說起 98 ☆ 4.1 人們自古就喜歡算命 .................................. 100 ☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問 ...................... 101 ☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道 .......................... 103 ☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問 ................ 107 ☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了 ............................ 110 ☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢？ .............................. 111 ☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析 ........................ 113 【★★★問題與研究】 .................................. 115 ☆ 4.8 直線的積分會是什麼？ ................................ 117 【★★★問題與研究】 .................................. 118 ☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼？ ............................ 119 【★★★問題與研究】 .................................. 122 第 5 章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 126 ☆ 5.1 人類因幻想而偉大 .................................... 128 ☆ 5.2 來到那「極限」的地方 ................................ 129 ☆ 5.3 你知道 1=2 的悖論嗎？ ................................ 131 ☆ 5.4 極限 (limits) 的問題與思維 ........................... 133 ☆ 5.5 【典範範例】集錦..................................... 136 【★★★典範範例 5-01】 ................................ 136 【★★★典範範例 5-02】 ................................ 137 【★★★典範範例 5-03】 ................................ 138 【★★★典範範例 5-04】 ................................ 140 【★★★典範範例 5-05】 ................................ 141 【★★★典範範例 5-06】 ................................ 143 【★★★典範範例 5-07】 ................................ 145 【★★★★典範範例 5-08】 [ 研究與分析 ] ................ 146 【★★★★典範範例 5-09】 [ 研究與分析 ] ................ 150 【★★★★典範範例 5-10】 [ 研究與分析 ] ................ 152 【★★★★典範範例 5-11】 [ 研究與分析 ] ................ 155 【★★★★典範範例 5-12】 [ 研究與分析 ] ................ 157 第 6 章 微分究竟想做什麼？ 160 ☆ 6.1 讀書的學問之道 ...................................... 162 ☆ 6.2 事情永遠都在變化 .................................... 164 ☆ 6.3 微分是求微量的因果之道 .............................. 165 ☆ 6.4 進一步的談導數與微分 ................................ 168 ☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道 ...................... 170 ☆ 6.6 數學中的微分方法 .................................... 171 ☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道 ...................... 172 ☆ 6.8 【典範範例】集錦..................................... 179 【★★★典範範例 6-01】 ................................ 179 【★★★典範範例 6-02】 ................................ 181 【★★★★典範範例 6-03】 [ 研究與分析 ] ................ 184 【★★★★典範範例 6-04】 [ 研究與分析 ] ................ 186 【★★★★典範範例 6-05】 [ 研究與分析 ] ................ 189 【★★★★典範範例 6-06】 [ 研究與分析 ] ................ 194 【★★★★典範範例 6-07】 [ 研究與分析 ] ................ 197 【★★★★典範範例 6-08】 [ 研究與分析 ] ................ 199 【★★★★典範範例 6-09】 [ 研究與分析 ] ................ 204 【★★★★典範範例 6-10】 [ 研究與分析 ] ................ 209 第 7 章 奇特的三角函數微分 212 ☆ 7.1 世界上最實用的科學 .................................. 214 ☆ 7.2 基本三角函數的微分 .................................. 216 ☆ 7.3 為什麼 sin(x) 的微分是 cos(x) 呢？ .................... 217 ☆ 7.4 為什麼 cos(x) 的微分卻是 -sin(x) 呢？ ................. 221 ☆ 7.5 綜合型三角函數的微分 ................................ 223 ☆ 7.6 【典範範例】集錦..................................... 225 【★★★典範範例 7-01】 ................................ 225 【★★★典範範例 7-02】 ................................ 227 【★★★典範範例 7-03】 ................................ 229 【★★★★典範範例 7-04】[ 研究與分析 ] .................. 231 【★★★★典範範例 7-05】[ 研究與分析 ] .................. 234 【★★★★典範範例 7-06】[ 研究與分析 ] .................. 237 【★★★★典範範例 7-07】[ 研究與分析 ] .................. 242 【★★★★典範範例 7-08】[ 研究與分析 ] .................. 246 【★★★★典範範例 7-09】[ 研究與分析 ] .................. 249 【★★★★典範範例 7-10】[ 研究與分析 ] .................. 254 【★★★★典範範例 7-11】[ 研究與分析 ] .................. 259 第 8 章 為大自然說話的曲線 264 ☆ 8.1 大自然的生命道理 .................................... 266 ☆ 8.2 用白話文講「指數」 .................................. 269 ☆ 8.3 自然指數在數學上的定義 .............................. 270 ☆ 8.4 指數運算定律 ...................................... 271 ☆ 8.5 指數函數的特性曲線 .................................. 273 ☆ 8.6 這個 e=2.71828 是什麼意思？ .......................... 274 ☆ 8.7 「對數」是什麼意思？ ................................ 275 ☆ 8.8 用白話文講「對數」 .................................. 277 ☆ 8.9 【典範範例】集錦..................................... 279 【★★★典範範例 8-01】 ................................ 279 【★★★典範範例 8-02】 ................................ 281 【★★★典範範例 8-03】 ................................ 282 【★★★典範範例 8-04】 ................................ 284 【★★★典範範例 8-05】 ................................ 285 【★★★★典範範例 8-06】 [ 研究與分析 ] ................ 287 【★★★★典範範例 8-07】 [ 研究與分析 ] ................ 289 【★★★★典範範例 8-08】 [ 研究與分析 ] ................ 291 【★★★★典範範例 8-09】 [ 研究與分析 ] ................ 294 【★★★★典範範例 8-10】 [ 研究與分析 ] ................ 295 【★★★★典範範例 8-11】 [ 研究與分析 ] ................ 298 【★★★★典範範例 8-12】 [ 研究與分析 ] ................ 301 【★★★★典範範例 8-13】 [ 研究與分析 ] ................ 304 第 9 章 用白話文講指數與對數的微分 308 ☆ 9.1 再用白話文講「指數」 ................................ 310 ☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義 ............................ 312 ☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤 ........................ 314 ☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍 .......................... 315 ☆ 9.5 指數微分與符號法則 .................................. 317 ☆ 9.6 什麼是對數函數 ...................................... 318 ☆ 9.7 如何口語化數學 ...................................... 319 ☆ 9.8 口語化的「對數」函數 ................................ 320 ☆ 9.9 奇妙的對數微分 ...................................... 324 ☆ 9.10 【典範範例】集錦..................................... 326 【★★★典範範例 9-01】[ 研究與分析 ] .................... 326 【★★★典範範例 9-02】 ................................ 329 【★★★典範範例 9-03】 ................................ 331 【★★★典範範例 9-04】 ................................ 332 【★★★典範範例 9-05】 ................................ 334 【★★★★典範範例 9-06】[ 研究與分析 ] .................. 337 【★★★★典範範例 9-07】[ 研究與分析 ] .................. 340 【★★★★典範範例 9-08】[ 研究與分析 ] .................. 343 【★★★★典範範例 9-09】[ 研究與分析 ] .................. 345 【★★★★典範範例 9-10】[ 研究與分析 ] .................. 349 【★★★★典範範例 9-11】[ 研究與分析 ] .................. 353 【★★★★典範範例 9-12】[ 研究與分析 ] .................. 356 【★★★★典範範例 9-13】[ 研究與分析 ] .................. 358 【★★★★典範範例 9-14】[ 研究與分析 ] .................. 362 【★★★★典範範例 9-15】[ 研究與分析 ] .................. 365 【★★★★典範範例 9-16】[ 研究與分析 ] .................. 368 第 10 章 積分究竟是什麼？ 376 ☆ 10.1 積分的究竟思維 ...................................... 378 ☆ 10.2 積分在數學上的意義 .................................. 380 ☆ 10.3 積分有什麼用呢？ .................................... 384 ☆ 10.4 【典範範例 -1】介於直線之間的面積.................... 386 ☆ 10.5 【典範範例 -2】介於曲線之間的面積.................... 391 ☆ 10.6 積分的進階思維 ...................................... 394 ☆ 10.7 多重積分的意義 ...................................... 397 ☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思？ .......................... 401 ☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思？ ...................... 404 ☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思？ ...................... 405 ☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積 ................................ 409 ☆ 10.12 【典範範例】集錦..................................... 411 【★★★典範範例 10-01】 ............................... 411 【★★★典範範例 10-02】 ............................... 413 【★★★典範範例 10-03】 ............................... 414 【★★★典範範例 10-04】 ............................... 416 【★★★典範範例 10-05】 ............................... 417 【★★★典範範例 10-06】[ 研究與分析 ] ................... 419 【★★★典範範例 10-07】[ 研究與分析 ] ................... 422 【★★★典範範例 10-08】[ 研究與分析 ] ................... 425 【★★★典範範例 10-09】[ 研究與分析 ] ................... 428 【★★★典範範例 10-10】[ 研究與分析 ] ................... 432 【★★★典範範例 10-11】[ 研究與分析 ] ................... 434 第 11 章 用白話文講對數與指數的積分 438 ☆ 11-1 什麼是指數與自然指數 ................................ 440 ☆ 11.2 指數的基本運算與積分 ................................ 441 ☆ 11.3 還是一條不死的龍 .................................... 442 ☆ 11.4 口語化的指數與對數關係 .............................. 445 ☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義 .......................... 448 ☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式 ............................ 449 ☆ 11.7 【典範範例】集錦..................................... 450 【★★★典範範例 11-01】[ 研究與分析 ] ................... 450 【★★★典範範例 11-02】[ 研究與分析 ] ................... 454 【★★★典範範例 11-03】[ 研究與分析 ] ................... 456 【★★★典範範例 11-04】[ 研究與分析 ] ................... 458 【★★★典範範例 11-05】[ 研究與分析 ] ................... 460 【★★★★典範範例 11-06】[ 研究與分析 ] ................. 462 【★★★★典範範例 11-07】[ 研究與分析 ] ................. 465 【★★★★典範範例 11-08】[ 研究與分析 ] ................. 467 【★★★★典範範例 11-09】[ 研究與分析 ] ................. 469 【★★★★典範範例 11-10】[ 研究與分析 ] ................. 471 【★★★★典範範例 11-11】 ............................. 473 【★★★★典範範例 11-12】[ 研究與分析 ] ................. 476 【★★★★典範範例 11-13】[ 研究與分析 ] ................. 480 【★★★★典範範例 11-14】[ 研究與分析 ] ................. 484 【★★★★典範範例 11-15】[ 研究與分析 ] ................. 486 第 12 章 卓越的三角函數積分 490 ☆ 12.1 三角學是大自然的祕密 ................................ 492 ☆ 12.2 從天文到地理 ...................................... 493 ☆ 12.3 三角函數的數值觀念 .................................. 494 ☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品 .......................... 496 ☆ 12.5 三角函數的相關公式 .................................. 498 ☆ 12.6 【典範範例】集錦..................................... 499 【★★★典範範例 12-01】[ 研究與分析 ] ................... 499 【★★★典範範例 12-02】[ 研究與分析 ] ................... 502 【★★★★典範範例 12-03】[ 研究與分析 ] ................. 505 【★★★★典範範例 12-04】[ 研究與分析 ] ................. 508 【★★★★典範範例 12-05】[ 研究與分析 ] ................. 512 【★★★★典範範例 12-06】[ 研究與分析 ] ................. 518 【★★★★典範範例 12-07】[ 研究與分析 ] ................. 521 【★★★★典範範例 12-08】[ 研究與分析 ] ................. 523 【★★★★典範範例 12-09】[ 研究與分析 ] ................. 528 【★★★★典範範例 12-10】[ 研究與分析 ] ................. 533 第 13 章 特異的奇函數與偶函數 540 ☆ 13.1 不可不知的函數對消作用 .............................. 542 ☆ 13.2 奇函數的定義 ...................................... 543 ☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數？......................... 544 ☆ 13.4 偶函數的定義 ...................................... 545 ☆ 13.5 由一半而推知另一半 .................................. 547 ☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能 ............................ 549 ☆ 13.7 【典範範例】集錦..................................... 552 【★★★典範範例 13-01】[ 研究與分析 ] ................... 552 【★★★典範範例 13-02】[ 研究與分析 ] ................... 555 【★★★★典範範例 13-03】[ 研究與分析 ] ................. 557 【★★★★典範範例 13-04】[ 研究與分析 ] ................. 558 【★★★★典範範例 13-05】[ 研究與分析 ] ................. 561 【★★★★典範範例 13-06】[ 研究與分析 ] ................. 563 第 14 章 高階的面積分與體積分 568 ☆ 14.1 積分的進階思維 ...................................... 570 ☆ 14.2 不規則平面面積之處理 ................................ 573 ☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積 ................................ 575 ☆ 14.4 如何計算物體之體積 .................................. 578 ☆ 14.5 圓盤法 (circular-disk method) ........................ 580 ☆ 14.6 柱殼法 (cylindrical shell method) .................... 584 ☆ 14.7 【典範範例】集錦..................................... 587 【★★★典範範例 14-01】 ............................... 587 【★★★典範範例 14-02】 ............................... 588 【★★★典範範例 14-03】 ............................... 590 【★★★典範範例 14-04】 ............................... 592 【★★★典範範例 14-05】 ............................... 594 【★★★典範範例 14-06】 ............................... 596 【★★★典範範例 14-07】 ............................... 598 【★★★典範範例 14-08】 ............................... 600 【★★★★典範範例 14-09】 ............................. 602 【★★★★典範範例 14-10】 ............................. 604 【★★★★典範範例 14-11】 ............................. 607 【★★★★典範範例 14-12】 ............................. 609 【★★★★典範範例 14-13】 ............................. 613 【★★★★典範範例 14-14】 ............................. 616 【★★★★典範範例 14-15】 ............................. 623 【★★★★典範範例 14-16】 ............................. 626 【★★★★典範範例 14-17】 ............................. 629 【★★★★典範範例 14-18】 ............................. 631 【★★★★典範範例 14-19】 ............................. 633 【★★★★典範範例 14-20】 ............................. 635 【★★★★典範範例 14-21】 ............................. 638 第 15 章 進入虛幻世界 640 ☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎？ ............................ 642 ☆ 15.2 在實數中無解的問題 .................................. 644 ☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案 .................... 645 ☆ 15.4 宇宙中最大的數系 .................................... 647 ☆ 15.5 複數平面的運算 ...................................... 649 ☆ 15.6 複變數的微分 ...................................... 651 ☆ 15.7 複變數的積分 ...................................... 652 ☆ 15.8 【典範範例】集錦..................................... 653 【★★★典範範例 15-01】 ............................... 653 【★★★典範範例 15-02】 ............................... 653 【★★★典範範例 15-03】 ............................... 654 【★★★典範範例 15-04】 ............................... 655 【★★★★典範範例 15-05】[ 研究與分析 ] ................. 656 【★★★★典範範例 15-06】[ 研究與分析 ] ................. 657 【★★★★典範範例 15-07】[ 研究與分析 ] ................. 659 【★★★★典範範例 15-08】[ 研究與分析 ] ................. 662 【★★★★典範範例 15-09】[ 研究與分析 ] ................. 663 【★★★★典範範例 15-10】[ 研究與分析 ] ................. 666 【★★★★典範範例 15-11】[ 研究與分析 ] ................. 668 【★★★★典範範例 15-12】[ 研究與分析 ] ................. 669 【★★★★典範範例 15-13】[ 研究與分析 ] ................. 670 【★★★★典範範例 15-14】[ 研究與分析 ] ................. 671 【★★★★典範範例 15-15】[ 研究與分析 ] ................. 673 【★★★★典範範例 15-16】[ 研究與分析 ] ................. 674
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