數學是什麼？（下）

美國排名第一
紐約大學數學科學研究所
創辦人瑞赫德．庫蘭特送給高等數學人才
一本從代數到微積分的系統性數學學習書
1941年出版至今，仍在Amazon.com獲得4.5顆星好評

　　《數學是什麼？》(What is Mathematics?) 是一本為初學者和學者、學生和老師、哲學家，和工程師而寫的數學名著。自1941年出版以來就得到包括愛因斯坦、赫曼．外爾 (Herman Weyl) 等一代科學大師在內的一致推崇。兩位原作者如今都已辭世，不過後繼有人。1996年在著名數學家伊恩．史都華手中把原著中多個相關的數學主題帶到切合當前的發展水平，因而有現在的第二版。通過平易近人，引人入勝的描述，這部閃爍出兩代作者才華的鉅著，把「反映出人類積極的意志，深思熟慮的推理，以及在美學上盡善盡美的祈求」的數學世界，栩栩如生地呈現在我們眼前。《數學是什麼?》文情並茂地給我們報導了一個非凡的故事，為我們對數學的瞭解打開了一扇窗。

作者簡介

瑞赫德．庫蘭特（Richard Courant, 1888 ~ 1972）

　　出生於德國，哥庭根大學數學研究所創建人，1920年至1933年期間任所長, 他在函數論和變分法方面的發展做出貢獻。在研究所期間與當時最負盛名的德國數學家希爾伯特（David Hilbert, 1862~1943）建立密切的合作關係，兩人合寫了著名的Methods of Mathematical Physics一書，將數學分析運用到物理學。1933年納粹興起，他逃往美國，翌年任紐約大學數學教授，並將他在哥庭根大學的經驗在紐約大學複製。在他的領導下建立了美國最有聲望的應用數學研究所之一。1958年他退休時為了紀念他，研究所以他命名（Courant Institute of Mathematical Sciences）。他的另一本名著Differential and Integral Calculus也被譽為是現代在微積分方面的最佳著作之一。

賀伯特．羅賓斯（Herbert Robbins, 1915 ~ 2001）

　　為前美國紐澤西州羅格斯大學（Rutgers University）數學教授，以拓撲學、測度理論、統計學等方面的研究而知名。

伊恩．史都華（Ian Stewart）

　　是英國英格蘭渥威克大學（University of Warwick）數學教授，在推動大眾對科學的認識方面做出許多貢獻。1995年獲得英國皇家學會頒贈法拉第獎章。他的著作廣泛，其中尤以《大自然的數學遊戲》（天下出版）、《上帝擲骰子嗎？》（八方出版），以及被他視為可作為本書姊妹篇的From Here to Infinity為大家所熟知。他同時為《科學人》雜誌撰寫Mathematical Recreation專欄。

譯者簡介

容士毅

　　1945年生，原籍廣東佛山，退休工程師，現居台北，從事科普出版工作，譯有《羅素的回憶：來自記憶裡的肖像》（左岸）、《愛因斯坦》、《霍金與最終理論的尋求》（牛頓）。

第六章　函數與極限
簡介
§1. 變數與函數
1.定義和實例　2.角度之衡量：弧度　3.函數之圖形 / 反函數　4.複合函數　5.連續　6.多個變數的函數　7.函數與變換
§2. 極限
1.序例 的極限　2.單調序例　3.一個尤拉數： 　4.圓周率 　5.連分數
§3. 得自連續逼近之極限
1.簡介 / 一般的定義　2.關於極限概念之論述　3. 之極限　4.隨 之極限
§4. 連續之嚴格定義
§5. 連續函數的兩個基本定理
1.波爾扎諾定理　2.波爾扎諾定理之證明　3.關於極值之維爾斯特拉斯定理　4.關於序列的一個定理 / 緊緻集合
§6. 波爾扎諾定理之應用
1.幾何學的應用　2.一個力學問題的應用
§7. 更多關於極限的範例
1.通論　2. 之極限　3. 之極限　4.作為連續函數之極限的不連續函數　5.由迭代過程所出之極限
§8 .關於連續的範例

第七章　極大與極小
簡介
§1.基本幾何問題
1.兩邊邊長為已知的三角形之極大面積　2.海龍定理 / 光線之極值特性　3.海龍定理在三角形問題上的應用　4.橢圓與雙曲線之切線性質及相應之極值性質　5.從一點到一已知曲線的極端距離
§2.極值問題之基礎：一個普遍原理
1.原理　2.例題
§3.平穩點與微分學
1.極值與平穩點　2.多個變數的函數之極大與極小 / 鞍點　3.最小的極大點與拓撲學　4.從一點到一個表面的距離
§4.施瓦茲的三角形問題
1.施瓦茲的求證方法　2.不同的證明方法　3.鈍角三角形　4.由光線構成的三角形　5.反射與遍歷運動的相關問題之論述
§5.斯坦納問題
1.問題與解答　2.兩種抉擇的分析　3.一個補充問題　4.特徵與運用　5.街道網路問題的推廣
§6.極值與不等式
1.兩個正值變量的算術平均數和幾何平均數　2.推廣至 個變量　3.最小平方法
§7.極值之存在性 / 狄利克雷原理
1.緒論　2.例題　3.初等極值問題　4.較高層次的難題
§8.等周問題
§9.結合邊界條件的極值問題 / 斯坦納問題與等周問題的關聯
§10.變分法
1.簡介　2.變分法 / 光學的費馬原理　3.伯努利對最速降線問題的處理方式　4.球面的測地線 / 測地線與最大的極小值
§11.極小問題的實驗解決 / 肥皂膜實驗
1.簡介　2.肥皂膜實驗　3.關於柏拉托問題的新型實驗　4.其它數學問題的實驗解答

第八章　微積分
簡介
§1.積分
1.面積：一個極限　2.積分　3.積分概念的一般特徵和定義　4.積分的實例 / 的積分方法　5.「積分」規則
§2.導數
1. 導數：一個斜率　2. 導數：一個極限　3.例題　4.三角函數之導數　5.微分與連續性　6.導數與速度 / 二階導數與加速度　7.二階導數的幾何意義　8.極大值與極小值
§3.微分的技巧
§4.萊布尼茲的標誌法與「無窮小」
§5.微積分基本定理
1.基本定理　2.初步應用： , , , 之積分　3.萊布尼茲為 提出的公式
§6.指數函數與對數
1.對數之定義與性質 / 尤拉數： 　2.指數函數　3.關於 , , 之微分公式　4.以 , , 和 為極限之顯式表示公式　5.對數之無窮級數及其數值計算
§7.微分方程
1.定義　2.指數函數之微分方程：放射性衰變、成長定律、複利　3.其它例子 / 最簡單的振動問題　4.牛頓的動力學定律
§8.原則性問題
1.可微性　2.積分　3.積分概念的其它應用：功、長度
§9.數量級
1.指數函數與 的冪數　2. 之數量級
§10.無窮級數及其乘積
1.函數之無窮級數　2.尤拉公式： 　3.調和級數與 函數。尤拉關於正弦的乘積
§11.得自統計方法的質數定理

第九章　數學在近代的發展
§1.關於質數的一個公式
§2.哥德巴赫猜想與孿生質數
§3.費馬最後定理
§4.連續統假設
§5.集合理論的標誌方法
§6.四色定理
§7.豪斯朵夫維數與碎形
§8.紐結