伊藤清概率論（修訂版）

本書為日本數學家伊藤清創作的現代概率論著作。書中以最小限度的預備知識為前提，以簡練的筆法系統講解了測度論基礎，以及現代概率論的基礎體系與概念，為引導讀者理解“隨機過程”，特別是Markov過程做了細緻準備。

此外，本書還展示了“伊藤引理”的構想原點，收錄了概率論發展的歷史過程。對於背景知識較為薄弱的讀者，作者則從各章的主要脈絡上，為其準備了一條瞭解現代概率論輪廓的輕快之路。本書適合相關專業的本科生、研究生和教師閱讀學習，也適合作為數學、物理、金融等領域的研究者的參考資料。

第1章 概率論的基本概念　1
1　概率空間的定義　1
2　概率空間的實際意義　3
3　概率測度的簡單性質　5
4　事件，條件，推斷　10
5　隨機變數的定義　12
6　隨機變數的合成與隨機變數的函數　15
7　隨機變數序列的收斂性　16
8　條件概率、相依性與獨立性　21
9　均值　26

第2章 實值隨機變數的概率分佈　29
10　實值隨機變數的表現　29
11　R-概率測度的表現　32
12　R-概率測度之間的距離　33
13　R-概率測度集合的拓撲性質　35
14　R-概率測度的數位特徵　38
15　獨立隨機變數的和，R-概率測度的卷積　43
16　特徵函數　46
17　R-概率測度及其特徵函數的拓撲關係　50

第3章　概率空間的構成　54
18　建立概率空間的必要性　54
19　擴張定理(I)　55
20　擴張定理(II)　57
21　Markov 鏈　59

第4章　大數定律　63
22　大數定律的數學表現　63
23　Bernoulli 大數定律　65
24　中心極限定理　66
25　強大數定律　69
26　無規則性的含義　73
27　無規則性的證明　76
28　統計分佈　81
29　重對數律與遍歷定理　82

第5章　隨機變數序列　84
30　一般的問題　84
31　條件概率分佈　85
32　單純Markov 過程與轉移概率族　87
33　遍歷問題的簡單例子　89
34　遍歷定理　92

第6章　隨機過程　99
35　隨機過程的定義　99
36　Markov 過程　101
37　時空齊次的Markov 過程(I)　103
38　時空齊次的Markov 過程(II)　112
39　一般Markov 過程與平穩過程　115

附錄1　符號　119
附錄2　參考文獻　121
附錄3　後記與評注　122
概要與背景　124
索引　144

伊藤清

1915—2008，日本數學家，日本學士院院士，日本京都大學教授。隨機分析的創始人之一，日本概率論研究的奠基者。曾任京都大學數理分析研究所所長，日本數學會理事長。他因在概率論方面的奠基性工作而獲1987年的沃爾夫獎，並於1998年獲得京都獎，2006年獲得首屆高斯獎。

伊藤清的工作集中於概率論，特別是隨機分析領域，他被譽為“現代隨機分析之父”，因他命名的理論有伊藤引理、伊藤積分、伊藤過程等。他的研究不僅推動了現代數學的發展，還對物理學、經濟學、統計學等學科產生了深遠影響。著有《概率論》《隨機過程》《我與概率論：伊藤清文集》等。