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序章 ix
第1章 鏡的獨白 1
1.1 誠實的人是誰？ 1
1.1.1 魔鏡啊魔鏡 1
1.1.2 誠實的人是誰？ 3
1.1.3 相同的答案 6
1.1.4 名為沉默的答案 8
1.2 邏輯問題 9
1.2.1 愛麗斯與伯里斯與克理斯 9
1.2.2 利用表格來協助思考 10
1.2.3 出題者的心情 14
1.3 帽子是什麼顏色的？ 15
1.3.1 我不知道 15
1.3.2 出題者的確認 18
1.3.3 鏡的獨白 19
第2章 皮亞諾公理 23
2.1 蒂蒂 23
2.1.1 皮亞諾公理 23
2.1.2 無窮的請託 27
2.1.3 皮亞諾公理 PA1 28
2.1.4 皮亞諾公理 PA2 29
2.1.5 培育成巨無霸 32
2.1.6 皮亞諾公理 PA3 34
2.1.7 微小？ 35
2.1.8 皮亞諾公理 PA4 36
2.2 米爾迦 39
2.2.1 皮亞諾公理PA5 42
2.2.2 數學歸納法 43
2.3 在無盡的邁步中 49
2.3.1 是有限？是無限？ 49
2.3.2 是動態的？是靜態的？ 50
2.4 由梨 51
2.4.1 加法運算是？ 51
2.4.2 公理是？ 53
第3章 伽利略的遲疑 57
3.1 集合 57
3.1.1 美人的集合 57
3.1.2 外延的定義 58
3.1.3 餐桌 60
3.1.4 空集 60
3.1.5 集合的集合 62
3.1.6 交集 64
3.1.7 聯集 66
3.1.8 子集 67
3.1.9 思考集合的理由 69
3.2 邏輯 70
3.2.1 內涵的定義 70
3.2.2 羅素悖論 72
3.2.3 集合運算與邏輯運算 74
3.3 無限 76
3.3.1 對射的鳥籠 76
3.3.2 伽利略的遲疑 80
3.4 表現 83
3.4.1 歸途 83
3.4.2 書店 84
3.5 沉默 85
3.5.1 美人的集合 85
第4章 無止境地接近的目標地點 87
4.1 自宅 87
4.1.1 由梨 87
4.1.2 男孩的「證明」 88
4.1.3 由梨的「證明」 89
4.1.4 由梨的「證明」 91
4.1.5 我的說明 92
4.2 超市 95
4.2.1 目標地點 95
4.3 音樂教室 99
4.3.1 文字的導入 99
4.3.2 極限 101
4.3.3 音樂是由聲音所決定的 103
4.3.4 極限的運算 105
4.4 回家的路上 114
4.4.1 未來出路 114
第5章 萊布尼茲的夢 117
5.1 如果是由梨的話，就不會是蒂蒂 117
5.1.1 「若…則…」的意義 117
5.1.2 萊布尼茲之夢 120
5.1.3 理性的極限？ 122
5.2 如果是蒂蒂的話，就不會是由梨 123
5.2.1 升學考試 123
5.2.2 課程 125
5.3 如果是米爾迦的話，就是米爾迦 127
5.3.1 教室 127
5.3.2 形式體系 128
5.3.3 邏輯式 130
5.3.4 「若…則…」的形式？ 132
5.3.5 公設 135
5.3.6 證明論 136
5.3.7 推論規則 138
5.3.8 證明與定理 140
5.4 既非我，也是我 142
5.4.1 自宅 142
5.4.2 形式的形式 143
5.4.3 意義的意義 145
5.4.4 如果是「若…則…」的話？ 146
5.4.5 邀約 151
第6章 Epsilon-Delta極限分析論證法 153
6.1 數列的極限 153
6.1.1 從圖書室開始 153
6.1.2 前往階梯教室 154
6.1.3 理解複雜數式的方法 158
6.1.4 解讀「絕對值」 160
6.1.5 解讀「若…則…」 163
6.1.6 解讀「全部」與「某些」 165
6.2 函數的極限 168
6.2.1 168
6.2.2 的意義 172
6.3 實力測驗 173
6.3.1 校內排名 173
6.3.2 寂靜之音、沉默之聲 174
6.4 連續的定義 175
6.4.1 圖書室 175
6.4.2 所有的點都不連續 178
6.4.3 只在一個點處連續的函數？ 180
6.4.4 從無窮的迷宮脫出 181
6.4.5 只在一個點處連續的函數！ 182
6.4.6 當說的詞語 186
第7章 對角線論證法 191
7.1 數列的數列 191
7.1.1 可數集 191
7.1.2 對角線論證法 195
7.1.3 挑戰：實數的編號排序 203
7.1.4 挑戰：有理數與對角線論證法 206
7.2 形式體系的形式體系 209
7.2.1 相容性與完備性 209
7.2.2 哥德爾不完備定理 216
7.2.3 算術 218
7.2.4 形式體系的形式體系 219
7.2.5 詞彙的整理 222
7.2.6 數項 223
7.2.7 對角化 224
7.2.8 數學的定理 227
7.3 追尋之物的追尋之物 227
7.3.1 遊樂園 227
第8章 由兩種孤獨當中所誕生的東西 233
8.1 重疊的序對 233
8.1.1 蒂蒂所察覺到的東西 233
8.1.2 我所察覺到的事情 239
8.1.3 所有人都忽略掉的東西 240
8.2 自宅 241
8.2.1 自己的數學 241
8.2.2 表現的壓縮 241
8.2.3 加法運算的定義 245
8.2.4 教師的存在 247
8.3 等價關係 248
8.3.1 畢業典禮 248
8.3.2 由序對所產生出來的東西 250
8.3.3 從自然數到整數 251
8.3.4 圖表 252
8.3.5 等價關係 257
8.3.6 商集 260
8.4 餐廳 264
8.4.1 兩個人的晚餐 264
8.4.2 成對的羽翼 265
8.4.3 無力測驗 266
第9章 疑惑的螺旋梯 269
9.1 π 弧度 269
9.1.1 板著臉的由梨 269
9.1.2 三角函數 271
9.1.3 sin45。 274
9.1.4 sin60。 278
9.1.5 正弦曲線 282
9.2 π弧度 287
9.2.1 弧度 287
9.2.2 教學 289
9.3 π弧度 290
9.3.1 停課 290
9.3.2 剩餘 291
9.3.3 燈塔 293
9.3.4 海邊 294
9.3.5 消毒 297
第10章 哥德爾不完全性定理 299
10.1 雙倉圖書館 299
10.1.1 入口處 299
10.1.2 氯之間 300
10.2 希爾柏特計畫 302
10.2.1 希爾柏特 302
10.2.2 測驗 304
10.3 哥德爾不完全性定理 308
10.3.1 哥德爾 308
10.3.2 討論 309
10.3.3 證明的綱要 311
10.4 「春」形式系統P 312
10.4.1 基本符號 312
10.4.2 數項與符號 313
10.4.3 邏輯式 314
10.4.4 公設 315
10.4.5 推論規則 317
10.5 午餐時間 318
10.5.1 元數學 318
10.5.2 用數學做數學 319
10.5.3 甦醒 319
10.6 「夏」哥德爾數 321
10.6.1 基本符號的哥德爾數 321
10.6.2 數列的哥德爾數 322
10.7 「秋」原始遞歸 324
10.7.1 原始遞歸函數 324
10.7.2 原始遞歸函數（謂語）的性質 326
10.7.3 可表達性定理 328
10.8 「冬」到達證明可能性的漫漫旅程 330
10.8.1 整裝待發 330
10.8.2 整數論 331
10.8.3 數列 333
10.8.4 變數．符號．邏輯式 335
10.8.5 公理．定理．形式證明 343
10.9 「新春」不能判定的哥德爾句 347
10.9.1 「季節」的確認 347
10.9.2 「種子」由意義的世界進入形式的世界 348
10.9.3 「新芽」p的定義 351
10.9.4 「枝」r的定義 351
10.9.5 「葉」從A1開始的流程 352
10.9.6 「花蕾」從B1開始的流程 353
10.9.7 能判定的語句的定義 353
10.9.8 「梅」 IsProvable(g)的證明 319
10.9.9 「桃」 IsProvable(not(g))的證明 355
10.9.10 「櫻」形式體系P為不完全的證明 357
10.10 不完全性定理的意義 359
10.10.1 「我是無法證明的」 359
10.10.2 第二不完全性定理的證明概略 363
10.10.3 由不完全性定理之中萌生的東西 365
10.10.4 數學的極限？ 366
10.11 乘載著夢想 368
10.11.1 並非是結束 368
10.11.2 我的東西 369
尾聲 373
後記 377
參考文獻與閱讀指南 381
索引 387 |
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