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第1章 預備知識 1 1.1 改進傅裡葉(Fourier)級數的引進 1 1.1.1 概念的引進 1 1.1.2 命題的證明 4 1.1.3 舉例 6 1.2 非奇異線性常微分方程的求解(注釋:引理1——相容性條件的引入,引理2——相對誤差的引入) 9 附錄A 14 附錄B 相容性條件的引進——引理1 15 第2章 存在間斷點的線性(二階)常微分方程的求解 17 2.1 存在間斷點的齊次方程的求解 17 2.1.1 0-階導數項的係數為間斷函數的方程的求解 17 2.1.2 1-階導數項的係數為間斷函數的方程的求解 21 2.1.3 2-階導數項的係數為間斷函數的方程的求解 26 2.2 存在間斷點的非齊次方程的求解 31 第3章 奇異的線性常微分方程解的構建 36 3.1 奇異方程的非奇異解[注釋:引理3(關於奇異解分類)的引進,引理4(關於約束條件)的引進] 36 附錄A 43 附錄B 44 3.2 1-階奇點鄰域內方程的奇異解[注釋:引理5(關於重根討論)的引進] 45 附錄 58 3.3 2-階奇點鄰域內方程的奇異解 58 3.4 3-階奇點鄰域內方程的奇異解[注釋:引理6(奇異階次m確定原則)的引進] 61 附錄 68 3.5 4-階奇點鄰域內方程的奇異解 70 附錄A 81 附錄B 83 3.6 5-階奇點鄰域內方程的奇異解 83 附錄 94 第4章 幾個常見方程的奇異解的求解算例 96 4.1 勒讓德(Legendre)方程的解 96 4.1.1 Legendre方程在有界區間[0,1]上的解 96 附錄 106 4.1.2 Legendre方程在半無界區域[1,∞)上的統一解(λ≠1) 107 附錄 115 4.1.3 方程在半無界區域[1,∞)上的統一解(λ=1) 117 附錄A 124 附錄B 127 4.2 貝塞爾(Bessel)方程的解 128 4.2.1 Bessel方程在有界區間[0,x0]上的解 128 附錄 135 4.2.2 Bessel方程在半無界區域[1,∞)上的解 135 附錄 141 4.3 韋伯(Weber)方程的解 141 4.4 合流(confluent)Lame方程的解 149 4.4.1 confluent Lame方程在有界區間[0,1]上的統一解 149 附錄A 156 附錄B 156 4.4.2 confluent Lame方程在半無界區域[1,∞)上的統一解 157 附錄A 167 附錄B 167 附錄C 169 4.5 馬蒂厄(Mathieu)方程的解 169 4.5.1 變形Mathieu方程在有界區間上的解 170 4.5.2 變形Mathieu方程在半無界區域上的統一解 175 附錄A 184 附錄B 185 4.6 合流超幾何[即庫默爾(Kummer)]方程的求解 186 附錄A 195 附錄B 196 第5章 幾個流體力學問題的化簡與求解 198 5.1 海洋內波與海底地形的相互作用 198 5.2 水氣介面剪切流的穩定性分析 211 附錄A 240 附錄B 240 附錄C 241 附錄D 242 參考文獻 244 後記 246
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