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前言 第1章 基礎知識 1 §1.1 集合與映射 1 §1.1.1 集合 1 §1.1.2 映射 3 §1.2 一元函數 7 §1.2.1 一元函數的定義 7 §1.2.2 具有某些特性的函數 8 §1.2.3 反函數與複合函數 10 §1.2.4 初等函數 12 §1.3 實數系 15 §1.3.1 實數系的形成 15 §1.3.2 實數系的連續性 16 第1章 總練習題 18 第2章 數列極限 20 §2.1 數列極限的概念 20 §2.1.1 數列與數列極限 20 §2.1.2 數列極限的ε-N定義 21 §2.2 數列極限的性質 25 §2.2.1 數列極限的基本性質 25 §2.2.2 數列極限的四則運算法則 28 §2.2.3 無窮小數列與無窮大數列 30 §2.3 數列極限存在的判別法則 35 §2.3.1 單調有界原理 35 §2.3.2 三個重要常數π,e,γ 36 §2.3.3 子數列與緻密性定理(抽子列定理) 40 §2.3.4 Cauchy收斂準則 43 第2章 總練習題 46 第3章 函數極限與連續 47 §3.1 函數極限 47 §3.1.1 函數極限的定義 47 §3.1.2 函數極限的性質 51 §3.1.3 兩個重要極限 55 §3.1.4 函數極限存在的充要條件 57 §3.2 無窮小量與無窮大量 61 §3.2.1 無窮小量及其階的比較 61 §3.2.2 無窮大量及其階的比較 63 §3.2.3 等價量及其代換 65 §3.3 函數的連續與間斷 67 §3.3.1 函數連續的定義 67 §3.3.2 連續函數的局部性質 69 §3.3.3 間斷點及其分類 70 §3.3.4 有限閉區間上連續函數的性質 72 §3.3.5 反函數的連續性定理 75 §3.3.6 初等函數的連續性 76 §3.3.7 一致連續性 77 第3章 總練習題 81 第4章 微分與導數 82 §4.1 微分和導數的定義 82 §4.1.1 微分概念的匯出背景 82 §4.1.2 微分的定義 83 §4.1.3 導數的定義 84 §4.1.4 產生導數的實際背景 85 §4.1.5 單側導數 87 §4.2 導數四則運算和反函數求導法則 89 §4.2.1 幾個常見初等函數的導數 89 §4.2.2 導數的四則運算法則 90 §4.2.3 反函數的導數 93 §4.3 複合函數求導法則及其應用 95 §4.3.1 複合函數求導法則 95 §4.3.2 一階微分的形式不變性 97 §4.3.3 隱函數的導數與微分 98 §4.3.4 由參數方程所確定的函數的求導公式 100 §4.4 高階導數 101 §4.4.1 高階導數的實際背景及定義 101 §4.4.2 高階導數的計算 102 §4.4.3 高階導數的運算法則 104 §4.4.4 複合函數、隱函數、反函數及由參數方程確定的函數的高階導數 105 §4.4.5 高階微分 107 第4章 總練習題 109 第5章 微分中值定理、Taylor公式及其應用 110 §5.1 Rolle定理、Lagrange中值定理及其應用 110 §5.1.1 極值與Fermat引理 110 §5.1.2 Rolle定理 112 §5.1.3 Lagrange中值定理 114 §5.1.4 Lagrange中值定理的應用 115 §5.2 Cauchy中值定理與L’Hospital法則 123 §5.2.1 Cauchy中值定理 123 §5.2.2 L’Hospital法則 124 §5.3 Taylor公式 130 §5.3.1 帶Peano型余項的Taylor公式 131 §5.3.2 帶Lagrange型余項的Taylor公式 133 §5.3.3 幾個常見函數的Maclaurin公式 134 §5.3.4 帶Peano型余項Taylor公式的間接求法 137 §5.4 微分學應用舉例 141 §5.4.1 極值的判別 141 §5.4.2 …大值與最小值 142 §5.4.3 曲線的漸近線 144 §5.4.4 函數作圖 145 §5.4.5 近似計算 146 第5章 總練習題 149 第6章 不定積分 151 §6.1 不定積分的概念與運算法則 151 §6.1.1 不定積分概念的提出 151 §6.1.2 基本積分表一 152 §6.1.3 不定積分的線性性質 154 §6.2 換元積分法和分部積分法 155 §6.2.1 換元積分法 155 §6.2.2 分部積分法 159 §6.2.3 基本積分表二 163 §6.3 有理函數的不定積分及應用 165 §6.3.1 有理函數的不定積分 165 §6.3.2 三角函數有理式的不定積分與簡單無理函數的不定積分 168 第6章 總練習題 171 第7章 定積分 172 §7.1 定積分的基本概念 172 §7.1.1 定積分概念的匯出背景 172 §7.1.2 定積分的定義 173 §7.1.3 可積的必要條件 176 §7.1.4 可積的充要條件 176 §7.1.5 可積的函數類 177 §7.2 定積分的基本性質與微積分基本定理 178 §7.2.1 定積分的基本性質 178 §7.2.2 微積分基本定理 181 §7.2.3 Newton-Leibnitz公式 183 §7.3 定積分的分部積分法和換元積分法 185 §7.3.1 分部積分法 186 §7.3.2 換元積分法 187 §7.3.3 其他方法 188 §7.4 定積分的應用 191 §7.4.1 定積分在幾何學中的應用 191 §7.4.2 定積分在物理學中的應用 201 第7章 總練習題 206 第8章 反常積分 209 §8.1 反常積分的概念 209 §8.1.1 無窮區間上的積分(無窮積分)210 §8.1.2 無界函數的積分(瑕積分)212 §8.1.3 一般的反常積分 213 §8.2 反常積分的收斂判別法 215 §8.2.1 無窮區間上的反常積分的收斂判別法 215 §8.2.2 瑕積分的收斂判別法 220 §8.2.3 帶有瑕點的無窮區間上的反常積分的收斂判別法 222 §8.2.4 反常積分的性質與計算 224 第8章 總練習題 228 第9章 常微分方程初步 229 §9.1 常微分方程的基本概念 229 §9.1.1 常微分方程幾個例子 229 §9.1.2 常微分方程基本概念 230 §9.2 一階微分方程 231 §9.2.1 可分離變數方程 231 §9.2.2 齊次方程與可化為齊次方程的微分方程 233 §9.2.3 一階線性微分方程與Bernoulli方程 235 §9.3 高階微分方程 238 §9.3.1 可降階的二階微分方程 238 §9.3.2 高階線性微分方程解的結構 240 §9.3.3 二階線性常係數微分方程 242 第9章 總練習題 248 參考文獻 250 索引 251
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