泛函分析導論及應用

本書是學習泛函分析的一部入門書，被歐美眾多大學廣泛用作數學系、物理系本科生和研究生的教材。全書共11章，包括度量空間、賦范空間、巴拿赫空間、希爾伯特空間、不動點定理及其應用、逼近論、賦範空間中線性運算元的譜論、賦範空間中的緊線性運算元及其譜論、有界自伴線性運算元的譜論、希爾伯特空間中的無界線性運算元、量子力學中的無界線性運算元等內容．本書精選900多道習題，並給出了解答。

第1章 度量空間　　1
1.1 度量空間　　2
1.2 度量空間的其他例子　　7
1.3 開集、閉集和鄰域　　13
1.4 收斂性、柯西序列和完備性　　18
1.5 例子——完備性的證明　　24
1.6 度量空間的完備化　　30

第2章 賦范空間和巴拿赫空間　　35
2.1 向量空間　　36
2.2 賦范空間和巴拿赫空間　　42
2.3 賦範空間的其他性質　　48
2.4 有限維賦範空間和子空間　　51
2.5 緊性和有限維　　55
2.6 線性運算元　　59
2.7 有界線性運算元和連續線性運算元　　66
2.8 線性泛函　　75
2.9 有限維空間中的線性運算元和泛函　　81
2.10 運算元賦範空間和對偶空間　　85

第3章 內積空間和希爾伯特空間　　92
3.1 內積空間和希爾伯特空間　　93
3.2 內積空間的其他性質　　99
3.3 正交補與直和　　103
3.4 規範正交集和規範正交序列　　110
3.5 與規範正交序列和規範正交集有關的級數　　117
3.6 規範正交集和 規範正交序列　　122
3.7 勒讓德、埃爾米特和拉蓋爾多項式　　128
3.8 希爾伯特空間中泛函的表示　　138
3.9 希爾伯特伴隨運算元　　143
3.10 自伴運算元、酉運算元和正規運算元　　147

第4章 賦范空間和巴拿赫空間的基本定理　　153
4.1 佐恩引理　　153
4.2 哈恩–巴拿赫定理　　156
4.3 複向量空間和賦范空間的哈恩–巴拿赫定理　　160
4.4 應用到 C[a, b] 上的有界線性泛函　　165
4.5 伴隨運算元　　170
4.6 自反空間　　176
4.7 範疇定理和一致有界性定理　　182
4.8 強收斂和弱收斂　　189
4.9 運算元序列和泛函序列的收斂　　194
4.10 在序列可和性方面的應用　　198
4.11 數值積分和弱星收斂　　203
4.12 開映射定理　　210
4.13 閉線性運算元和閉圖定理　　215

第5章 巴拿赫不動點定理的應用　　220
5.1 巴拿赫不動點定理　　220
5.2 巴拿赫定理在線性方程組方面的應用　　226
5.3 巴拿赫定理在微分方程方面的應用　　231
5.4 巴拿赫定理在積分方程方面的應用　　235

第6章 在逼近論中的應用　　241
6.1 賦範空間中的逼近　　241
6.2 性和嚴格凸性　　243
6.3 一致逼近　　248
6.4 切比雪夫多項式　　254
6.5 希爾伯特空間中的逼近　　260
6.6 樣條函數　　263

第7章 賦範空間中線性運算元的譜論　　267
7.1 有限維賦範空間中的譜論　　267
7.2 基本概念　　271
7.3 有界線性運算元的譜性質　　275
7.4 預解式和譜的其他性質　　278
7.5 複分析在譜論中的應用　　283
7.6 巴拿赫代數　　289
7.7 巴拿赫代數的其他性質　　292

第8章 賦範空間中的緊線性運算元及其譜論　　297
8.1 賦範空間中的緊線性運算元　　297
8.2 緊線性運算元的其他性質　　302
8.3 賦範空間中緊線性運算元的譜性質　　307
8.4 緊線性運算元的其他譜性質　　313
8.5 含有緊線性運算元的運算元方程　　319
8.6 其他的弗雷德霍姆型定理　　324
8.7 弗雷德霍姆擇一性　　331

第9章 有界自伴線性運算元的譜論　　337
9.1 有界自伴線性運算元的譜性質　　337
9.2 有界自伴線性運算元的其他譜性質　　341
9.3 正運算元　　344
9.4 正運算元的平方根　　349
9.5 投影運算元　　353
9.6 投影的其他性質　　357
9.7 譜族　　361
9.8 有界自伴線性運算元的譜族　　365
9.9 有界自伴線性運算元的譜表示　　371
9.10 譜定理到連續函數的推廣　　377
9.11 有界自伴線性運算元的譜族的性質　　380

第10章 希爾伯特空間中的無界線性運算元　　384
10.1 無界線性運算元及其希爾伯特伴隨運算元　　385
10.2 希爾伯特伴隨運算元、對稱和自伴線性運算元　　389
10.3 閉線性運算元和閉包　　393
10.4 自伴線性運算元的譜性質　　397
10.5 酉運算元的譜表示　　401
10.6 自伴線性運算元的譜表示　　408
10.7 乘法運算元和微分運算元　　413

第11章 量子力學中的無界線性運算元　　419
11.1 基本概念：狀態、觀察量和位置運算元　　420
11.2 動量運算元和海森伯測不准原理　　423
11.3 與時間無關的薛定諤方程　　428
11.4 哈密頓運算元　　432
11.5 與時間相關的薛定諤方程　　438

附錄A 複習與參考資料　　446
附錄B 習題解答　　457
附錄C 參考書目　　538
人名索引　　542
索 引　　545

歐文·克雷斯齊格（Erwin Kreyszig）
 
德裔加拿大籍應用數學家，在德國達姆施塔特工業大學獲得博士學位，曾任職於美國斯坦福大學、加拿大渥太華大學、美國俄亥俄州立大學、奧地利格拉茨技術大學、加拿大溫莎大學和加拿大卡爾頓大學等高校。他是應用數學領域的先驅，主要研究課題是非波複製線性系統，另著有Advanced Engineering Mathematics和Differential Geometry等書。