拓樸學超入門：從克萊茵瓶到宇宙的形狀


	解釋超導體、量子力學　　2016年諾貝爾物理學獎，就是以拓樸概念解開物質的奧秘！　　馬克杯和甜甜圈竟然是相同的形狀？　　如何一筆畫完成柯尼斯堡七橋？　　映射、流形與扭結　　從曲面幾何猜想宇宙形狀　　解開百年大謎——龐加萊猜想！　　這些都可以用拓樸學一一解密！　　2016年的諾貝爾物理獎由3位英國學者共同獲得，其中1∕2的獎金頒給目前任教於美國華盛頓大學的David J. Thouless，其餘1∕2則由美國普林斯頓大學的F. Duncan M. Haldane及美國布朗大學的J. Michael Kosterlitz分享。　　這3位學者獲獎的主要貢獻是「物質的拓樸相變及拓樸相態的理論發現」，物質在極低溫的環境中常會產生一些奇異的現象，這物質會轉變成完全不同的狀態（或稱相態），即人們熟知的超導體。　　這個發現不僅開啟了人們對不同於傳統四態（即固態、液態、氣態、電漿態）及傳統相變的全新領域的探索，也對當前材料、電子科學及量子電腦的發展有重要的影響。　　拓樸學（topology），是在數學上一門鑽研不會受到形狀或大小的連續變化而改變的幾何性質。　　例如就幾何形狀來看，碗、馬克杯、甜甜圈這3樣東西，哪兩個看起來比較相似呢？　　拓樸學從數學拓樸的概念來看，馬克杯跟甜甜圈其實才是相同的。　　在拓樸學中有一種克萊因瓶，這是一個非常特殊的瓶子，我們生活的空間幾何維數是三維，而克萊因瓶只能在四維及更高維空間存在，理論上無法在我們三維空間中製造出來，就好像在一個二維平面上不能制造出一個球來一樣。　　這是一種沒有開口也沒有出口的瓶子，沒有裡面也沒有外面，外面就是裡面，裡面就是外面，這是一種只存在四維空間的克萊因瓶之祕！


	目錄序第 1 章拓樸學是什麼？「相同形狀」是什麼情況？ 1-1 「相同形狀」是什麼？ 1-2 位相的「相」是什麼？ 1-3 「同胚」是什麼圖形？ 1-4 位相的「位」是什麼？ 1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！ Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學第 2 章簡圖是什麼？是否能「一筆畫」完成？ 2-1 「柯尼斯堡七橋」問題 2-2 「歐拉圖形」是什麼？ 2-3 歐拉圖形的條件 2-4 「漢密頓圖形」是什麼？ 2-5 拓樸學的語源與發展 Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？第 3 章認識拓樸不變量圖形區別的工具 3-1 「歐幾里得空間」是什麼？ 3-2 「圖形」是什麼？ 3-3 「拓樸不變量」是什麼？ 3-4 「成分數」與「維度」是拓樸不變量 3-5 計算歐拉示性數的「三角形分割」是什麼？ 3-6 「單元分割」求歐拉示性數 3-7 「正多面體」的歐拉示性數 3-8 「T1、T2」的歐拉示性數 Column 3 「三菱形」能否一筆畫完不重覆？第 4 章映射是什麼？理解拓樸學，不可不知「連續映射」 4-1 「映射」是集合到集合的對應 4-2 「連續映射」是什麼？ 4-3 「同胚映射」是什麼？ 4-4 舉例說明「同胚映射」 4-5 合痕形變與同倫形變 4-6 稱為「德恩扭轉」的同胚映射 Column 4 「定點定理」是什麼？第 5 章流形是什麼？二維流形是指曲面 5-1 「流形」是什麼圖形？ 5-2 在流形上畫「座標」 5-3 「有邊界的流形」是有盡頭的圖形 5-4 「開流形」與「閉流形」的區別 5-5 「有邊界流形」的例子 5-6 閉曲面的「展開圖」是什麼？ 5-7 眼睛看不見，但可用展開圖表示的「射影平面」 5-8 曲面內側跑到外側的「克萊因瓶」 5-9 流形的「方向」 5-10 以「莫比烏斯帶」數量分類的「不可定向閉曲面」 5-11 「不可定向閉曲面」的「歐拉示性數」 Column 5 DNA、基因重組酶具有拓樸性質嗎？第 6 章嵌入圖形與浸入圖形探討空間中的圖形 6-1 「正則射影圖」是什麼？ 6-2 交叉交換轉為平凡扭結 6-3 四維空間中的扭結 6-4 「嵌入」是什麼？ 6-5 扭結為邊界的「塞弗特曲面」 6-6 「扭結的虧格」是「扭結的不變量」 6-7 「浸入」是什麼？ 6-8 「以扭結為邊界的曲面」浸入圖形 6-9 「射影平面」浸入圖形 6-10 四維空間中的「克萊因瓶」會是什麼模樣？ Column 6 三維空間的射影平面是什麼形狀？第 7 章認識基本群探討「封閉繩子＝環路」 7-1 從繩子能否收回，認識曲面的形狀 7-2 能夠縮成一點就是「單連通」 7-3 「同倫環路」是什麼？① 7-4 「同倫環路」是什麼？② 7-5 「基本群」是什麼？ 7-6 「生成元」是什麼？ 7-7 「圓周」的基本群 7-8 「環面」的基本群 Column 7 架橋遊戲第 8 章扭結的不變量不變動也知道是否等價 8-1 判斷兩扭結是否等價的「扭結不變量」 8-2 三種變形「萊德邁斯特移動」 8-3 「三色性」是扭結不變量 8-4 「聯立方程式」判斷是否具有三色性 8-5 「消除扭結的最小操作數」是扭結不變量 Column 8 什麼是「複雜網路」？第 9 章曲面幾何三種曲率 9-1 彎曲狀態相同的「齊性流形」 9-2 「曲率」表示「曲線」的彎曲狀態 9-3 「高斯曲率」表示「曲面」彎曲狀態 9-4 圓柱、圓錐的高斯曲率為0？ 9-5 平坦環面的曲率為0 9-6 「球面」與「射影平面」具有橢圓幾何結構 9-7 「雙人游泳圈」具有雙曲幾何結構 . 9-8 「球面三角形」內角和大於180° 9-9 高斯－博內公式①──橢圓幾何結構 9-10 高斯－博內公式②──歐幾里得幾何結構 9-11 高斯－博內公式③──雙曲幾何結構 9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係 Column 9 簡圖的「複雜度」是什麼？第 1 0 章宇宙是什麼形狀？可能的形狀有哪些？ 10-1 宇宙的形狀是「三維流形」嗎？ 10-2 一維球面與二維球面 10-3 三維球面──橢圓幾何結構 10-4 三環面──歐幾里得幾何結構 10-5 K 2 ×S 1 ──歐幾里得幾何結構 10-6 透鏡空間──橢圓幾何結構 10-7 龐加萊十二面體空間──橢圓幾何結構 10-8 塞弗特－韋伯空間──雙曲幾何結構 10-9 積與束 10-10 幾何化猜想英日文參考文獻索引